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Placa empujando un disco (G.I.A.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→=Apartado 4)
Línea 4: Línea 4:
El cuadrado empuja a un disco de radio <math>R</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el plano "1".  
El cuadrado empuja a un disco de radio <math>R</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el plano "1".  
# Determine la posición de los C.I.R. de los diferentes movimientos en el instante reflejado en la figura.
# Determine la posición de los C.I.R. de los diferentes movimientos en el instante reflejado en la figura.
-
# Determine las reducciones cinemáticas de los movimientos en el instante en que la velocidad absoluta del punto <math>A</math> del sólido "0" es <math>\vec{v}_{01}^A = v\vec{\imath}</math>.  
+
# Determine las reducciones cinemáticas de los movimientos en el instante en que la velocidad absoluta del punto <math>A</math> del sólido "0" es <math>\vec{v}_{01}^A = v\vec{\imath_1}</math>.  
# Si el sistema parte del reposo y el punto <math>A</math> del sólido "0" realiza un movimiento uniformemente acelerado, con aceleración <math>a_0</math>, obtenga la expresión en función del tiempo del vector rotación <math>\vec{\omega}_{21}(t)</math> y su derivada temporal <math>\vec{\alpha}_{21}(t)</math>.  
# Si el sistema parte del reposo y el punto <math>A</math> del sólido "0" realiza un movimiento uniformemente acelerado, con aceleración <math>a_0</math>, obtenga la expresión en función del tiempo del vector rotación <math>\vec{\omega}_{21}(t)</math> y su derivada temporal <math>\vec{\alpha}_{21}(t)</math>.  
# En las condiciones del apartado anterior, calcule la expresión de la aceleración <math>\vec{a}_{21}^D</math>, así como la velocidad y aceleración relativa <math>\vec{v}_{20}^B</math> y <math>\vec{a}_{20}^B</math>.
# En las condiciones del apartado anterior, calcule la expresión de la aceleración <math>\vec{a}_{21}^D</math>, así como la velocidad y aceleración relativa <math>\vec{v}_{20}^B</math> y <math>\vec{a}_{20}^B</math>.
Línea 32: Línea 32:
Este es una traslación permanente. La velocidad angular es nula y la velocidad de todos
Este es una traslación permanente. La velocidad angular es nula y la velocidad de todos
los puntos de sólido "0" es la misma. El enunciado nos dice
los puntos de sólido "0" es la misma. El enunciado nos dice
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que <math>\vec{v}^A_{01}=v\vec{\imath} </math>.  Entonces la reducción es
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que <math>\vec{v}^A_{01}=v\vec{\imath_1} </math>.  Entonces la reducción es
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\vec{\omega}_{01}=\vec{0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_{01}=v\vec{\imath}
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\vec{\omega}_{01}=\vec{0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_{01}=v\vec{\imath_1}
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La velocidad no se adscribe a ningún punto concreto porque todos los puntos del sólido tienen la misma.
La velocidad no se adscribe a ningún punto concreto porque todos los puntos del sólido tienen la misma.
Línea 44: Línea 44:
es de la forma <math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k} </math>, pues es un movimiento plano. Para determinar el valor de  
es de la forma <math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k} </math>, pues es un movimiento plano. Para determinar el valor de  
<math>\omega_{21} </math> nos fijamos en que el punto <math>C </math> del sólido "2" realiza una traslación permanente. Además su posición  
<math>\omega_{21} </math> nos fijamos en que el punto <math>C </math> del sólido "2" realiza una traslación permanente. Además su posición  
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relativa respecto al punto <math> A</math> no cambia. Por tanto <math>\vec{v}^C_{21}=v\vec{\imath} </math>.  Usando la ecuación del campo de  
+
relativa respecto al punto <math> A</math> no cambia. Por tanto <math>\vec{v}^C_{21}=v\vec{\imath_1} </math>.  Usando la ecuación del campo de  
velocidades del movimiento {21} tenemos
velocidades del movimiento {21} tenemos
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\left.
\begin{array}{l}
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-
\vec{v}^C_{21}=v\,\vec{\imath}\\ \\  
+
\vec{v}^C_{21}=v\,\vec{\imath_1}\\ \\  
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\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^D_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DC}=\vec{0}+(\omega_{21}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath})=
+
\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^D_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DC}=\vec{0}+(\omega_{21}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath_1})=
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-\omega_{21}R\,\vec{\imath}
+
-\omega_{21}R\,\vec{\imath_1}
\end{array}
\end{array}
\right| \Longrightarrow \omega_{21}=-v/R
\right| \Longrightarrow \omega_{21}=-v/R
Línea 72: Línea 72:
Obtenemos la velocidad de este movimiento en el punto <math>C </math>
Obtenemos la velocidad de este movimiento en el punto <math>C </math>
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-
\vec{v}^C_{20} = \vec{v}^C_{21} + \vec{v}^C_{10} = \vec{v}^C_{21} - \vec{v}^C_{01} = v\,\vec{\imath}-v\,\vec{\imath}=\vec{0}
+
\vec{v}^C_{20} = \vec{v}^C_{21} + \vec{v}^C_{10} = \vec{v}^C_{21} - \vec{v}^C_{01} = v\,\vec{\imath_1}-v\,\vec{\imath_1}=\vec{0}
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</math></center>
Así pues, la reducción queda
Así pues, la reducción queda
Línea 82: Línea 82:
El movimiento {01} es una traslación, por lo que en cada instante de tiempo tenemos
El movimiento {01} es una traslación, por lo que en cada instante de tiempo tenemos
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-
\vec{\omega}_{01}=\vec{0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_{01}(t)=v(t)\,\vec{\imath}
+
\vec{\omega}_{01}=\vec{0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_{01}(t)=v(t)\,\vec{\imath_1}
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Al ser un movimiento uniformemente acelerado y partir del reposo, la velocidad <math> v(t)</math> es
Al ser un movimiento uniformemente acelerado y partir del reposo, la velocidad <math> v(t)</math> es
Línea 92: Línea 92:
lo que en todo instante se cumple
lo que en todo instante se cumple
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-
\vec{v}^C_{21}(t) = v(t)\,\vec{\imath}
+
\vec{v}^C_{21}(t) = v(t)\,\vec{\imath_1}
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En todo instante el disco rueda sin deslizar, por lo que si llamamos <math>D^{*} </math> al punto de contacto instantáneo del disco con el  
En todo instante el disco rueda sin deslizar, por lo que si llamamos <math>D^{*} </math> al punto de contacto instantáneo del disco con el  
Línea 98: Línea 98:
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\vec{v}^{D^*}_{21}=\vec{0} = \vec{v}^C_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CD}=
\vec{v}^{D^*}_{21}=\vec{0} = \vec{v}^C_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CD}=
-
v\,\vec{\imath}+(\omega_{21}\,\vec{k})\times(-R\,\vec{\jmath})=(v+\omega_{21}R)\,\vec{k}
+
v\,\vec{\imath_1}+(\omega_{21}\,\vec{k})\times(-R\,\vec{\jmath_1})=(v+\omega_{21}R)\,\vec{k}
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Como esta relación se cumple para todo <math>t </math>, obtenemos
Como esta relación se cumple para todo <math>t </math>, obtenemos
Línea 111: Línea 111:
===Apartado 4 ===
===Apartado 4 ===
-
En el apartado anterior hemos visto que en todo instante <math>\vec{v}^C_{21}(t)=a_0t\,\vec{\imath} </math>.  Derivando respecto al tiempo obtenemos
+
En el apartado anterior hemos visto que en todo instante <math>\vec{v}^C_{21}(t)=a_0t\,\vec{\imath_1} </math>.  Derivando respecto al tiempo obtenemos
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\vec{a}^C_{21} = \left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^C_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = a_0\,\vec{\imath}
+
\vec{a}^C_{21} = \left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^C_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = a_0\,\vec{\imath_1}
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Usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} tenemos, teniendo en cuenta que es un movimiento plano
Usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} tenemos, teniendo en cuenta que es un movimiento plano
Línea 119: Línea 119:
\begin{array}{rcl}
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\displaystyle \vec{a}^D_{21}&=&\vec{a}^C_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CD}-|\omega_{21}|^2\overrightarrow{CD}\\ && \\
\displaystyle \vec{a}^D_{21}&=&\vec{a}^C_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CD}-|\omega_{21}|^2\overrightarrow{CD}\\ && \\
-
\displaystyle &=&\displaystyle a_0\,\vec{\imath} + \left(-\frac{a_0}{R}\,\vec{k}\right)\times(-R\,\vec{\jmath}) -\frac{a_0^2t^2}{R^2}(-R\,\vec{\jmath})\\
+
\displaystyle &=&\displaystyle a_0\,\vec{\imath_1} + \left(-\frac{a_0}{R}\,\vec{k}\right)\times(-R\,\vec{\jmath_1}) -\frac{a_0^2t^2}{R^2}(-R\,\vec{\jmath_1})\\
&&\\
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-
&=&\displaystyle \frac{a_0^2t^2}{R}\,\vec{\jmath}=\omega^2_{21}(t)R\,\vec{\jmath}
+
&=&\displaystyle \frac{a_0^2t^2}{R}\,\vec{\jmath_1}=\omega^2_{21}(t)R\,\vec{\jmath_1}
\end{array}
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Línea 135: Línea 135:
\end{array}
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\right|\Longrightarrow
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-
\vec{v}^B_{20} = \left(-\frac{v(t)}{R}\,\vec{k}\right)\times(-R\,\vec{\imath})=v(t)\,\vec{\jmath}=a_0t\,\vec{\jmath}
+
\vec{v}^B_{20} = \left(-\frac{v(t)}{R}\,\vec{k}\right)\times(-R\,\vec{\imath_1})=v(t)\,\vec{\jmath_1}=a_0t\,\vec{\jmath_1}
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La ley de composición de velocidades angulares es válida para todo <math>t </math>, por lo que puede usarse sin problemas.
La ley de composición de velocidades angulares es válida para todo <math>t </math>, por lo que puede usarse sin problemas.
Línea 145: Línea 145:
\vec{a}^B_{21}&=&\vec{a}^B_{20}+\vec{a}^B_{01} +2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}\\ \\
\vec{a}^B_{21}&=&\vec{a}^B_{20}+\vec{a}^B_{01} +2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}\\ \\
&&\displaystyle\vec{a}^B_{21} = \vec{a}^C_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CB}-|\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{CB}=
&&\displaystyle\vec{a}^B_{21} = \vec{a}^C_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CB}-|\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{CB}=
-
\left(a_0+\frac{v^2(t)}{R}\right)\,\vec{\imath}+a_0\,\vec{\jmath}=\left(a_0+\frac{a_0^2t^2}{R}\right)\,\vec{\imath}+a_0\,\vec{\jmath}\\ && \\
+
\left(a_0+\frac{v^2(t)}{R}\right)\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}=\left(a_0+\frac{a_0^2t^2}{R}\right)\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}\\ && \\
-
&&\vec{a}^B_{01}=a_0\,\vec{\imath}\\ && \\
+
&&\vec{a}^B_{01}=a_0\,\vec{\imath_1}\\ && \\
&&2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}=\vec{0} \,\, (\vec{\omega}_{01}=\vec{0})
&&2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}=\vec{0} \,\, (\vec{\omega}_{01}=\vec{0})
\end{array}
\end{array}
Línea 152: Línea 152:
Despejando obtenemos
Despejando obtenemos
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-
\vec{a}^B_{20} = \vec{a}^B_{21}-\vec{a}^B_{01} = \frac{v^2(t)}{R}\,\vec{\imath}+a_0\,\vec{\jmath}=\frac{a_0^2t^2}{R}\,\vec{\imath}+a_0\,\vec{\jmath}
+
\vec{a}^B_{20} = \vec{a}^B_{21}-\vec{a}^B_{01} = \frac{v^2(t)}{R}\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}=\frac{a_0^2t^2}{R}\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}
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[[Imagen:F1_GIA_placa_disco_4.png|right]]
[[Imagen:F1_GIA_placa_disco_4.png|right]]

Revisión de 17:16 10 ene 2014

Contenido

1 Enunciado

El cuadrado de la figura (sólido "0") realiza un movimiento plano cuando uno de sus lados desliza sobre un plano horizontal fijo (sólido "1"). El cuadrado empuja a un disco de radio R (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el plano "1".

  1. Determine la posición de los C.I.R. de los diferentes movimientos en el instante reflejado en la figura.
  2. Determine las reducciones cinemáticas de los movimientos en el instante en que la velocidad absoluta del punto A del sólido "0" es \vec{v}_{01}^A = v\vec{\imath_1}.
  3. Si el sistema parte del reposo y el punto A del sólido "0" realiza un movimiento uniformemente acelerado, con aceleración a0, obtenga la expresión en función del tiempo del vector rotación \vec{\omega}_{21}(t) y su derivada temporal \vec{\alpha}_{21}(t).
  4. En las condiciones del apartado anterior, calcule la expresión de la aceleración \vec{a}_{21}^D, así como la velocidad y aceleración relativa \vec{v}_{20}^B y \vec{a}_{20}^B.

2 Solución

2.1 Determinación gráfica de los C.I.R.

El disco desliza con una de sus caras siempre apoyada sobre el suelo. Por tanto el movimiento {01} es una traslación permanente. Esto quiere decir que I01 está en el infinito en dirección perpendicular a la velocidad \vec{v}_{01} , ya sea hacia arriba o hacia abajo.

Por otro lado, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el suelo. Esto quiere decir que en el punto de contacto la velocidad relativa entre los dos sólidos es nula, \vec{v}^D_{21}=\vec{0} y el C.I.R. del movimiento {21} está en el punto D, es decir, I_{21}\equiv D . La figura de la derecha muestra la localización de estos C.I.R.

El teorema de los tres centros nos dice que I20 debe estar sobre la línea que une I21 y I01, la línea vertical que se muestra en la figura. Por otro lado, podemos saber la dirección de la velocidad \vec{v}^B_{20} . Al avanzar, el cuadrado empuja al disco hacia la derecha. Por tanto el punto B debe desplazarse hacia arriba, esto es, \vec{v}^B_{20} es paralela al eje Y1. El corte de la línea perpendicular a \vec{v}^B_{21} trazada en B con la línea que une I21 y I01 nos da la posición de I20. Como vemos en la figura, I_{20}\equiv C .

2.2 Reducciones cinemáticas de los movimientos

2.2.1 Movimiento {01}

Este es una traslación permanente. La velocidad angular es nula y la velocidad de todos los puntos de sólido "0" es la misma. El enunciado nos dice que \vec{v}^A_{01}=v\vec{\imath_1} . Entonces la reducción es

\vec{\omega}_{01}=\vec{0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_{01}=v\vec{\imath_1}

La velocidad no se adscribe a ningún punto concreto porque todos los puntos del sólido tienen la misma.

2.2.2 Movimiento {21}

El disco rueda sin deslizar sobre el punto D. Entonces \vec{v}^D_{21}=\vec{0} . El vector velocidad angular es de la forma \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k} , pues es un movimiento plano. Para determinar el valor de ω21 nos fijamos en que el punto C del sólido "2" realiza una traslación permanente. Además su posición relativa respecto al punto A no cambia. Por tanto \vec{v}^C_{21}=v\vec{\imath_1} . Usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} tenemos

\left. \begin{array}{l} \vec{v}^C_{21}=v\,\vec{\imath_1}\\ \\ \vec{v}^C_{21}=\vec{v}^D_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DC}=\vec{0}+(\omega_{21}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath_1})= -\omega_{21}R\,\vec{\imath_1} \end{array} \right| \Longrightarrow \omega_{21}=-v/R

Nos queda entonces que la reducción cinemática del movimiento {21} es

\vec{\omega}_{21}=-\frac{v}{R}\,\vec{k},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^D_{21}=\vec{0}

2.2.3 Movimiento {20}

Para reducir este movimiento usamos la composición de movimientos

{20} = {21} + {10}

Para la velocidad angular tenemos

\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} + \vec{\omega}_{10} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -\frac{v}{R}\,\vec{k}

Obtenemos la velocidad de este movimiento en el punto C

\vec{v}^C_{20} = \vec{v}^C_{21} + \vec{v}^C_{10} = \vec{v}^C_{21} - \vec{v}^C_{01} = v\,\vec{\imath_1}-v\,\vec{\imath_1}=\vec{0}

Así pues, la reducción queda

\vec{\omega}_{20}=-\frac{v}{R}\,\vec{k},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^C_{20}=\vec{0}

2.3 El cuadrado se desliza con aceleración uniforme

El movimiento {01} es una traslación, por lo que en cada instante de tiempo tenemos

\vec{\omega}_{01}=\vec{0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_{01}(t)=v(t)\,\vec{\imath_1}

Al ser un movimiento uniformemente acelerado y partir del reposo, la velocidad v(t) es

v(t) = a0t

Como hemos visto en el apartado anterior, la posición relativa del punto C del sólido "2" respecto al cuadrado no cambia, por lo que en todo instante se cumple

\vec{v}^C_{21}(t) = v(t)\,\vec{\imath_1}

En todo instante el disco rueda sin deslizar, por lo que si llamamos D * al punto de contacto instantáneo del disco con el suelo, para cada instante de tiempo se cumple

\vec{v}^{D^*}_{21}=\vec{0} = \vec{v}^C_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CD}= v\,\vec{\imath_1}+(\omega_{21}\,\vec{k})\times(-R\,\vec{\jmath_1})=(v+\omega_{21}R)\,\vec{k}

Como esta relación se cumple para todo t, obtenemos

\vec{\omega}_{21}(t) = -\frac{v(t)}{R}\,\vec{k}=-\frac{a_0t}{R}\,\vec{k}

La aceleración angular \vec{\alpha}_{21} se obtiene derivando respecto al tiempo

\vec{\alpha}_{21} = \left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = -\frac{a_0}{R}\,\vec{k}

2.4 Apartado 4

En el apartado anterior hemos visto que en todo instante \vec{v}^C_{21}(t)=a_0t\,\vec{\imath_1} . Derivando respecto al tiempo obtenemos

\vec{a}^C_{21} = \left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^C_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = a_0\,\vec{\imath_1}

Usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} tenemos, teniendo en cuenta que es un movimiento plano

\begin{array}{rcl} \displaystyle \vec{a}^D_{21}&=&\vec{a}^C_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CD}-|\omega_{21}|^2\overrightarrow{CD}\\ && \\ \displaystyle &=&\displaystyle a_0\,\vec{\imath_1} + \left(-\frac{a_0}{R}\,\vec{k}\right)\times(-R\,\vec{\jmath_1}) -\frac{a_0^2t^2}{R^2}(-R\,\vec{\jmath_1})\\ &&\\ &=&\displaystyle \frac{a_0^2t^2}{R}\,\vec{\jmath_1}=\omega^2_{21}(t)R\,\vec{\jmath_1} \end{array}

Calculamos \vec{v}^B_{20} a partir de \vec{v}^C_{20} , la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20} y la composición de movimientos {20} = {21} + {10}

\left. \begin{array}{l} \vec{v}^B_{20} = \vec{v}^C_{20}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}\\ \\ \displaystyle \vec{v}^C_{20}= \vec{0}\\ \\ \displaystyle \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=-\frac{v(t)}{R}\,\vec{k} \end{array} \right|\Longrightarrow \vec{v}^B_{20} = \left(-\frac{v(t)}{R}\,\vec{k}\right)\times(-R\,\vec{\imath_1})=v(t)\,\vec{\jmath_1}=a_0t\,\vec{\jmath_1}

La ley de composición de velocidades angulares es válida para todo t, por lo que puede usarse sin problemas.

Por último, calculamos \vec{a}^B_{20} a partir de la composición de movimientos {21} = {20} + {01}

\begin{array}{lcl} \vec{a}^B_{21}&=&\vec{a}^B_{20}+\vec{a}^B_{01} +2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}\\ \\ &&\displaystyle\vec{a}^B_{21} = \vec{a}^C_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CB}-|\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{CB}= \left(a_0+\frac{v^2(t)}{R}\right)\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}=\left(a_0+\frac{a_0^2t^2}{R}\right)\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}\\ && \\ &&\vec{a}^B_{01}=a_0\,\vec{\imath_1}\\ && \\ &&2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}=\vec{0} \,\, (\vec{\omega}_{01}=\vec{0}) \end{array}

Despejando obtenemos

\vec{a}^B_{20} = \vec{a}^B_{21}-\vec{a}^B_{01} = \frac{v^2(t)}{R}\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}=\frac{a_0^2t^2}{R}\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Placa_empujando_un_disco_(G.I.A.)"

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