Espira cuadrada que gira en un campo magnético
De Laplace
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Revisión de 16:27 25 may 2013
Contenido |
1 Enunciado
Una espira cuadrada de lado![a=2\,\mathrm{cm}](/wiki/images/math/4/6/d/46da17c69a015df39d4623c8122f4765.png)
![A=0.5\,\mathrm{mm}^2](/wiki/images/math/1/3/f/13f7da7b908f47e1e85d5d46a6c74c94.png)
![f=400\,\mathrm{Hz}](/wiki/images/math/c/b/e/cbe6881773be1aad55594d9edb6d18cf.png)
![B_0=200\,\mathrm{mT}](/wiki/images/math/7/d/b/7db9dbf94dda2b2ffd0369fe27d3d1b6.png)
- Determine la corriente que se induce en la espira.
- Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.
2 Cálculo de la intensidad
Éste es un ejemplo elemental de generador de corriente alterna. La corriente se obtiene por aplicación directa de la ley de Faraday![\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}](/wiki/images/math/b/1/3/b13e71bf7d7dc5f96d4a337c5e3806cd.png)
El flujo magnético es igual a
![\Phi_m=\int_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\vec{B}_0\cdot\vec{n}S](/wiki/images/math/3/c/9/3c91dec152367dcf39da7b70919e7874.png)
por ser uniforme. El producto escalar es igual al producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman, el cual varía uniformemente con el tiempo
![\Phi_m=B_0a^2\cos(\omega t)\,](/wiki/images/math/3/4/6/3464f0e655cc6cd691b614ddfea3c8eb.png)
Derivando obtenemos la fuerza electromotriz.
![\mathcal{E}=B_0a^2\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)=\mathcal{E}_0\mathrm{sen}(\omega t)](/wiki/images/math/0/2/0/020792cf4bcb3b17ba06d6ed143217ca.png)
Vemos que este sistema se comporta como un generador de corriente alterna. Sustituyendo los valores numéricos
![\omega = 800\pi\,\mathrm{s}^{-1} = 2513\,\mathrm{s}^{-1}\,](/wiki/images/math/5/3/8/53865bcdc60ed15ec693df734e205f24.png)
![\mathcal{E}_0=0.20\,\mathrm{V}](/wiki/images/math/f/d/8/fd8b3d7cf759fb54291ba97f1407fb3c.png)
La corriente que circula por la espira es igual a
![I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{B_0a^2\omega}{R}\mathrm{sen}(\omega t)](/wiki/images/math/d/e/f/def364afc99b3e69d74125c19c6623de.png)
donde la resistencia vale
![R=\frac{4a}{\sigma A} = 2.7\,\mathrm{m}\Omega](/wiki/images/math/4/7/0/47088f69adb9e5a854746114298046ac.png)
y la amplitud de la intensidad
![I_0=\frac{\mathcal{E}_0}{R}=\frac{B_0aA\sigma\omega}{4} = 74\,\mathrm{A}](/wiki/images/math/8/0/8/80861029a61526ac9f7cb1e6546acd18.png)
3 Cálculo de la potencia
Podemos calcular la potencia disipada en el conductor por aplicación de la ley de Joule
![P=I^2R = \mathcal{E}I = \mathcal{E}_0I_0\,\mathrm{sen}^2(\omega t)](/wiki/images/math/3/4/2/3428ee8aa30d3fbc344497708155538b.png)
Esta potencia es oscilante, pero siempre positiva. La energía total disipada en un periodo es positiva
![W_d = \int_0^T P\,\mathrm{d}t = \mathcal{E}_0I_0\int_0^T \mathrm{sen}^2(\omega t)\mathrm{d}t =
\frac{\mathcal{E}_0I_0T}{2}](/wiki/images/math/f/4/a/f4afc2b03a568b5674de8addab7f79f5.png)
Sustituyendo los valores numéricos resulta, para la potencia máxima
![P_0=\mathcal{E}_0I_0=14.9\,\mathrm{W}](/wiki/images/math/8/5/0/850d4ca03565e4d38b11411cac627105.png)
y para la energía disipada en un periodo
![W_d= 19\,\mathrm{mJ}](/wiki/images/math/b/4/7/b47df4b1d583627436dc94021a961784.png)