Sistema de tres superficies esféricas cargadas
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
(→Caso general) |
(→Caso general) |
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| Línea 14: | Línea 14: | ||
* <math>Q_2=Q_3=Q_0</math>, <math>Q_1=-2Q_0</math>. | * <math>Q_2=Q_3=Q_0</math>, <math>Q_1=-2Q_0</math>. | ||
| + | ==Campo eléctrico== | ||
==Caso general== | ==Caso general== | ||
En lugar de resolver tres veces el mismo problema, consideramos un sistema con cargas cualesquiera y posteriormente sustituimos por sus valores concretos. | En lugar de resolver tres veces el mismo problema, consideramos un sistema con cargas cualesquiera y posteriormente sustituimos por sus valores concretos. | ||
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El campo debido a las tres esferas, se calcula por aplicación de la ley de Gauss. Por la simetría esférica del sistema, el campo es radial y dependiente solo de la distancia al centro del sistema | El campo debido a las tres esferas, se calcula por aplicación de la ley de Gauss. Por la simetría esférica del sistema, el campo es radial y dependiente solo de la distancia al centro del sistema | ||
| Línea 27: | Línea 28: | ||
De acuerdo con la ley de Gauss | De acuerdo con la ley de Gauss | ||
| - | <center><math>\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}</math></center> | + | <center><math>\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r</math></center> |
Tenemos ahora cuatro regiones, de adentro a fuera: | Tenemos ahora cuatro regiones, de adentro a fuera: | ||
| Línea 34: | Línea 35: | ||
<center><math>Q_\mathrm{int}=0\qquad\Rightarroçw\qquad \vec{E}=\vec{0}\qquad (r< 2a)</math></center> | <center><math>Q_\mathrm{int}=0\qquad\Rightarroçw\qquad \vec{E}=\vec{0}\qquad (r< 2a)</math></center> | ||
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| + | ;2a < r < 3a: Entre la esfera pequeña y la intermedia se envuelve a la esfera pequeña, con carga <math>Q_1</math> | ||
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| + | <center><math>Q_\mathrm{int}=Q_1\qquad\Rightarroçw\qquad \vec{E}=\frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (2a < r < 3a)</math></center> | ||
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| + | ;3a < r < 6a: Entre la esfera intermedia y la grande se envuelve tanto a la esfera pequeña como a la intermedia | ||
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| + | <center><math>Q_\mathrm{int}=Q_1+Q_2\qquad\Rightarroçw\qquad \vec{E}=\frac{Q_1+Q_2}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (3a < r < 6a)</math></center> | ||
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| + | ;6a<r: En el exterior de la esfera grande se envuelve a las tres esferas | ||
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| + | <center><math>Q_\mathrm{int}=Q_1+Q_2+Q_3\qquad\Rightarroçw\qquad \vec{E}=\frac{Q_1+Q_2+Q_3}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (6a < r)</math></center> | ||
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| + | :Ahora bien, en los tres casos prácticos, la suma de las tres cargas es cero, así que | ||
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| + | <center><math>Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0 \qquad\Rightarroçw\qquad \vec{E}=\vec{0}\qquad (6a< r)</math></center> | ||
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| + | Reuniendo los cuatro resultados | ||
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| + | <center><math>\vec{E}=\begin{cases} \vec{0} & r < 2a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & 2a <r < 3a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_1+Q_2}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & 3a <r < 6a \\ & \\ \vec{0} & 6a < r\end{cases}</math></center> | ||
==Primer caso== | ==Primer caso== | ||
Revisión de 23:40 30 abr 2013
Contenido |
1 Enunciado
Supongamos un sistema formado por tres superficies esféricas concéntricas, de radios R1 = 2a, R2 = 3a y R3 = 6a, respectivamente, que almacenan cargas Q1, Q2 y Q3 distribuidas uniformemente en cada una.
Calcule
- El campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
- El trabajo necesario para llevar una carga q0 desde el infinito hasta el centro del sistema.
- La energía electrostática almacenada en el sistema de tres esferas (sin incluir la carga q0).
para cada uno de los siguientes tres casos:
- Q1 = Q2 = Q0, Q3 = − 2Q0.
- Q1 = Q3 = Q0, Q2 = − 2Q0.
- Q2 = Q3 = Q0, Q1 = − 2Q0.
2 Campo eléctrico
3 Caso general
En lugar de resolver tres veces el mismo problema, consideramos un sistema con cargas cualesquiera y posteriormente sustituimos por sus valores concretos.
El campo debido a las tres esferas, se calcula por aplicación de la ley de Gauss. Por la simetría esférica del sistema, el campo es radial y dependiente solo de la distancia al centro del sistema
Para cada superficie esférica que tomemos
De acuerdo con la ley de Gauss
Tenemos ahora cuatro regiones, de adentro a fuera:
- r < 2a
- En el interior de la esfera pequeña no se envuelve ninguna carga, por lo que el campo es nulo
- 2a < r < 3a
- Entre la esfera pequeña y la intermedia se envuelve a la esfera pequeña, con carga Q1
- 3a < r < 6a
- Entre la esfera intermedia y la grande se envuelve tanto a la esfera pequeña como a la intermedia
- 6a<r
- En el exterior de la esfera grande se envuelve a las tres esferas
- Ahora bien, en los tres casos prácticos, la suma de las tres cargas es cero, así que
Reuniendo los cuatro resultados
