Caso de ciclo Ericsson
De Laplace
(→Resumen) |
m |
||
Línea 128: | Línea 128: | ||
==Trabajo, calor y energía== | ==Trabajo, calor y energía== | ||
+ | A partir de los valores anteriores es fácil hallar cada una de las magnitudes energéticas, ya que al ser todos los procesos cuasiestáticos, poseen expresiones en función de la presión y volumen inicial y final de cada paso. | ||
+ | |||
+ | ===A→B=== | ||
+ | El primer paso es una compresión isoterma cuasiestática de un gas ideal. Puesto que no varía la temperatura, tampoco lo hace la energía interna | ||
+ | |||
+ | <center><math>\Delta U = nc_v\,\Delta T = 0</math></center> | ||
+ | |||
+ | ni la entalpía | ||
+ | |||
+ | <center><math>\Delta H = nc_p\,\Delta T = 0</math></center> | ||
+ | |||
+ | El trabajo no es nulo, ya que se comprime el gas. Su valor es, como corresponde a un [[Trabajo_en_termodinámica_(GIE)#Proceso_isotermo|proceso isotermo]], | ||
+ | |||
+ | <center><math>W^{A\to B} = nRT_A\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)=p_AV_A\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)</math></center> | ||
+ | |||
+ | Sustituyendo los valores numéricos | ||
+ | |||
+ | <center><math>W^{A\to B}= (1.00\times 10^5\,\mathrm{Pa})\times(1.60\times 10^{-4}\mathrm{m}^3)\ln\left(\frac{1.25}{1.00}\right)=3.57\,\mathrm{J}</math></center> | ||
+ | |||
+ | Este trabajo es positivo, por lo que entra en el sistema. Podemos ponerlo explícitamente como | ||
+ | |||
+ | <center><math>W^{A\to B}_\mathrm{in}=3.57\,\mathrm{J}</math></center> | ||
+ | |||
+ | El calor lo calculamos aplicando el primer principio de la termodinámica | ||
+ | |||
+ | <center><math>Q^{A\to B}= \overbrace{\Delta U}^{=0}-W^{A\to B}=-3.57\,\mathrm{J}</math></center> | ||
+ | |||
+ | Este calor es negativo, por lo que sale del sistema. Lo escribimos entonces como | ||
+ | |||
+ | <center><math>Q^{A\to B}_\mathrm{out}=3.57\,\mathrm{J}</math></center> | ||
+ | |||
+ | ===C→D=== | ||
+ | El tercer paso es una expansión isoterma cuasiestática de un gas ideal. Puesto que aquí tampoco varía la temperatura, no cambiae la energía interna | ||
+ | |||
+ | <center><math>\Delta U = nc_v\,\Delta T = 0</math></center> | ||
+ | |||
+ | ni la entalpía | ||
+ | |||
+ | <center><math>\Delta H = nc_p\,\Delta T = 0</math></center> | ||
+ | |||
+ | El trabajo no es nulo, ya que el gas se expande, empujando a la atmósfera. Vale | ||
+ | |||
+ | <center><math>W^{C\to D} = nRT_C\ln\left(\frac{p_D}{p_C}\right)=p_CV_C\ln\left(\frac{p_D}{p_C}\right)</math></center> | ||
+ | |||
+ | Sustituyendo los valores numéricos | ||
+ | |||
+ | <center><math>W^{C\to D}= (1.25\times 10^5\,\mathrm{Pa})\times(1.60\times 10^{-4}\mathrm{m}^3)\ln\left(\frac{1.00}{1.25}\right)=-4.46\,\mathrm{J}</math></center> | ||
+ | |||
+ | Este trabajo es negativo, por lo que sale del sistema. Podemos ponerlo explícitamente como | ||
+ | |||
+ | <center><math>W^{C\to D}_\mathrm{in}=4.46\,\mathrm{J}</math></center> | ||
+ | |||
+ | El calor lo calculamos aplicando el primer principio de la termodinámica | ||
+ | |||
+ | <center><math>Q^{C\to D}= \overbrace{\Delta U}^{=0}-W^{C\to D}=+4.46\,\mathrm{J}</math></center> | ||
+ | |||
+ | Este calor es positivo, por lo que entra en el sistema. Lo escribimos como | ||
+ | |||
+ | <center><math>Q^{C\to D}_\mathrm{in}=4.46\,\mathrm{J}</math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
==Trabajo neto== | ==Trabajo neto== | ||
==Calor total absorbido== | ==Calor total absorbido== |
Revisión de 17:59 14 mar 2013
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene un cilindro vertical de paredes no aislantes, en cuyo interior se encuentra aire (considerado como un gas ideal diatómico). El cilindro tiene sección cuadrada de lado 4 cm y está cerrado por un pistón horizontal que puede deslizarse sin rozamiento.
Inicialmente el pistón se encuentra a una altura de 10 cm y el aire está en equilibrio térmico y mecánico con el exterior a una temperatura de 300 K y una presión 100 kPa.
Se procede entonces a efectuar el siguiente ciclo
- A→B El gas se comprime lentamente, colocando sobre la tapa el equivalente a 4 kg de arena, sin que se modifique la temperatura exterior.
- B→C Sin retirar la arena, se calienta lentamente el gas, hasta que el volumen vuelve a ser el inicial.
- C→D Manteniendo constante la nueva temperatura, se van retirando los granos de arena hasta que no queda ni uno.
- D→A Se enfría gradualmente el gas, hasta que su volumen vuelve a ser el inicial.
A la vista de este ciclo:
- Represente gráficamente el ciclo en un diagrama pV.
- Para cada uno de los pasos, halle (tomando )
- El trabajo y el calor que se intercambian, indicando si cada uno entra en el sistema o sale de él.
- La variación de la energía interna y de la entalpía del gas en cada paso.
- Calcule el trabajo neto que desarrolla el sistema sobre el entorno.
- Halle el calor total absorbido por el gas (sin descontar el que cede al entorno).
- Calcule el rendimiento del ciclo, definido como:
2 Representación gráfica
Aunque es fácil hacer una representación gráfica esquemática, vamos a construir una exacta empleando los valores de los diferentes estados del ciclo, así como las curvas que los unen.
2.1 A→B
En el primer paso tenemos que se va aumentando lentamente la presión sobre el gas, manteniéndose constante la temperatura. El proceso es una compresión isoterma, que podemos suponer cuasiestática. En todo momento se cumple la ley de Boyle
Gráficamente, el proceso se representa por un arco de hipérbola. El estado inicial corresponde a una presión y un volumen
El estado final B tiene la misma temperatura, mientras que su presión aumenta en la cantidad correspondiente al peso añadido
Este resultado no es muy exacto porque hemos tomado g = 10m/s² en vez de g = 9.8m/s², pero por una mayor simplicidad en los cálculos, lo mantendremos así.
El volumen de este estado B lo hallamos aplicando la ley de Boyle (caso particular de la ley de los gases ideales)
Esto quiere decir que la nueva altura del pistón es
La presión ha aumentado en un 25% y el pistón ha bajado en un 20% de su anterior altura.
2.2 B→C
En el segundo proceso se aumenta la temperatura, pero el pistón puede moverse. Esto quiere decir que se trata de una expansión a presión constante. Gráficamente corresponde a un segmento horizontal en un diagrama pV.
El estado inicial B de este segmento ya lo tenemos
El final C lo hallamos teniendo en cuenta que su presión es la misma que la de B y su volumen el mismo que el inicial
La nueva temperatura la hallamos aplicando la ley de Charles (caso particular de la de los gases ideales)
2.3 C→D
En el tercer paso la presión disminuye lentamente, hasta volver a ser la presión inicial, sin que cambie la temperatura. Al tratarse de una expansión isoterma cuasiestática, volvemos a tener un arco de hipérbola entre los estados C y D. Para el estado C tenemos
El estado final D tiene la misma temperatura que el C, y la misma presión que el A
El volumen de este estado D lo hallamos aplicando la ley de Boyle (caso particular de la ley de los gases ideales)
Esto quiere decir que la nueva altura del pistón es
2.4 D→A
En el último paso se reduce la temperatura, con el pistón libre. La presión permanece constante, lo que implica un nuevo segmento inicial. El estado final A' tiene la misma presión que A y el mismo volumen que A, por lo que A' = A y el ciclo se cierra.
2.5 Resumen
Reuniendo los cuatro estados obtenemos la siguiente tabla
Estado | Presión (bar) | Temperatura (K) | Volumen (cm³) | Altura (cm) |
---|---|---|---|---|
A | 1.00 | 300 | 160 | 10.0 |
B | 1.25 | 300 | 128 | 8.0 |
C | 1.25 | 375 | 160 | 10.0 |
D | 1.00 | 375 | 200 | 12.5 |
y la siguiente representación gráfica:
3 Trabajo, calor y energía
A partir de los valores anteriores es fácil hallar cada una de las magnitudes energéticas, ya que al ser todos los procesos cuasiestáticos, poseen expresiones en función de la presión y volumen inicial y final de cada paso.
3.1 A→B
El primer paso es una compresión isoterma cuasiestática de un gas ideal. Puesto que no varía la temperatura, tampoco lo hace la energía interna
ni la entalpía
El trabajo no es nulo, ya que se comprime el gas. Su valor es, como corresponde a un proceso isotermo,
Sustituyendo los valores numéricos
Este trabajo es positivo, por lo que entra en el sistema. Podemos ponerlo explícitamente como
El calor lo calculamos aplicando el primer principio de la termodinámica
Este calor es negativo, por lo que sale del sistema. Lo escribimos entonces como
3.2 C→D
El tercer paso es una expansión isoterma cuasiestática de un gas ideal. Puesto que aquí tampoco varía la temperatura, no cambiae la energía interna
ni la entalpía
El trabajo no es nulo, ya que el gas se expande, empujando a la atmósfera. Vale
Sustituyendo los valores numéricos
Este trabajo es negativo, por lo que sale del sistema. Podemos ponerlo explícitamente como
El calor lo calculamos aplicando el primer principio de la termodinámica
Este calor es positivo, por lo que entra en el sistema. Lo escribimos como