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Momento de inercia de sólidos cilíndricos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '==Enunciado== Halle los siguientes momentos de inercia de sólidos de densidad homogénea: # Una superficie cilíndrica hueca, de masa ''M'', radio ''R'' y altura ''H''. # Un c…')
(→Superficie cilíndrica)
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==Superficie cilíndrica==
==Superficie cilíndrica==
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==Introducción==
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El momento de inercia de un sólido respecto a un eje se define como la cantidad
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<center><math>I = \sum_i m_i R_i^2\,</math></center>
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donde <math>R_i</math> es la distancia de la masa <math>m_i</math> respecto al eje en cuestión. En el caso de una distribución continua, la suma se transforma en la integral correspondiente
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<center><math>I = \int_M R^2\,\mathrm{d}m</math></center>
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En el caso particular de que tomemos como eje Z el que usamos para hallar el momento de inercia, esta integral se expresa
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<center><math>I = \int_M (x^2+y^2)\,\mathrm{d}m</math></center>
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Si se sabe que los sólidos son homogéneos, quiere decir que su densidad de masa es la misma en todos sus puntos
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<center><math>\rho = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}V}=\frac{M}{V}</math></center>
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y por tanto, la masa de cada elemento es proporcional al volumen que ocupa
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<center><math>\mathrm{d}m = \frac{M}{V}\mathrm{d}V</math></center>
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El cálculo del momento de inercia se convierte entonces en el de una integral de volumen (o de superficie para una figura plana)
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<center><math>I = \frac{M}{V}\int_V (x^2+y^2)\mathrm{d}V</math></center>
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Sin embargo, el objeto de este problema no es calcular una ristra de integrales dobles o triples. La mayoría de estos momentos de inercia (que son los que aparecen más frecuentemente en problemas diversos) se pueden simplificar notablemente aprovechando las simetrías de la figura, que reducen el cálculo como mucho a una integral de una variable.
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==Corona cilíndrica==
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Dividimos la corona cilíndrica en finas capas concéntricas, de radio <math>r</math> y espesor <math>\mathrm{d}r</math>. El volumen diferencial de cada una de estas capas es
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<center><math>\mathrm{d}V = 2\pi r H\,\mathrm{d}r</math></center>
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mientras que la distancia al eje de los puntos de cada capa es <math>r</math>. Esto nos da la integral para el momento de inercia
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<center><math>I = \frac{M}{V}\int_{R_1}^{R_2} r^2(2\pi r H)\,\mathrm{d}r=\frac{M}{V}\left(2\pi H\right)\left(\frac{R_2^4}{4}-\frac{R_1^4}{4}\right) = \frac{M \pi H (R_2^4-R_1^4)}{2V}</math></center>
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El volumen total de esta corona es
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lo que nos da el momento de inercial
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<center><math>I = \frac{M\pi H(R_2^4-R_1^4)}{2\pi H (R_2^2-R_1^2)} = \frac{M(R_2^2+R_1^2)}{2}</math></center>
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Como caso particular de este resultado tenemos:
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;Superficie cilíndrica: Tiene <math>R_1 = R_2=R</math> y queda
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<center><math>I = MR^2\,</math></center>
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;Anillo circular: Es un caso particular del anterior, pues el resultado no depende de la altura del cilindro
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<center><math>I = MR^2\,</math></center>
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;Cilindro macizo: Hacemos <math>R_1=0</math>, <math>R_2=R</math> y resulta
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<center><math>I = \frac{1}{2}MR^2\,</math></center>
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;Disco circular: Es un caso particular del anterior
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<center><math>I = \frac{1}{2}MR^2\,</math></center>
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==Cilindro macizo==
==Cilindro macizo==
==Corona cilíndrica==
==Corona cilíndrica==

Revisión de 19:07 5 ene 2013

Contenido

1 Enunciado

Halle los siguientes momentos de inercia de sólidos de densidad homogénea:

  1. Una superficie cilíndrica hueca, de masa M, radio R y altura H.
  2. Un cilindro macizo, de masa M, radio R y altura H.
  3. Una corona cilíndrica de masa M, radio interior R1 y exterior R2, con altura H

En todos los casos, el momento de inercia debe hallarse respecto al eje del cilindro.

2 Superficie cilíndrica

3 Introducción

El momento de inercia de un sólido respecto a un eje se define como la cantidad

I = \sum_i m_i R_i^2\,

donde Ri es la distancia de la masa mi respecto al eje en cuestión. En el caso de una distribución continua, la suma se transforma en la integral correspondiente

I = \int_M R^2\,\mathrm{d}m

En el caso particular de que tomemos como eje Z el que usamos para hallar el momento de inercia, esta integral se expresa

I = \int_M (x^2+y^2)\,\mathrm{d}m

Si se sabe que los sólidos son homogéneos, quiere decir que su densidad de masa es la misma en todos sus puntos

\rho = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}V}=\frac{M}{V}

y por tanto, la masa de cada elemento es proporcional al volumen que ocupa

\mathrm{d}m = \frac{M}{V}\mathrm{d}V

El cálculo del momento de inercia se convierte entonces en el de una integral de volumen (o de superficie para una figura plana)

I = \frac{M}{V}\int_V (x^2+y^2)\mathrm{d}V

Sin embargo, el objeto de este problema no es calcular una ristra de integrales dobles o triples. La mayoría de estos momentos de inercia (que son los que aparecen más frecuentemente en problemas diversos) se pueden simplificar notablemente aprovechando las simetrías de la figura, que reducen el cálculo como mucho a una integral de una variable.

4 Corona cilíndrica

Dividimos la corona cilíndrica en finas capas concéntricas, de radio r y espesor dr. El volumen diferencial de cada una de estas capas es

\mathrm{d}V = 2\pi r H\,\mathrm{d}r

mientras que la distancia al eje de los puntos de cada capa es r. Esto nos da la integral para el momento de inercia

I = \frac{M}{V}\int_{R_1}^{R_2} r^2(2\pi r H)\,\mathrm{d}r=\frac{M}{V}\left(2\pi H\right)\left(\frac{R_2^4}{4}-\frac{R_1^4}{4}\right) = \frac{M \pi H (R_2^4-R_1^4)}{2V}

El volumen total de esta corona es

V = \pi R_2^2 H - \pi R_1^2H\,

lo que nos da el momento de inercial

I = \frac{M\pi H(R_2^4-R_1^4)}{2\pi H (R_2^2-R_1^2)} = \frac{M(R_2^2+R_1^2)}{2}

Como caso particular de este resultado tenemos:

Superficie cilíndrica
Tiene R1 = R2 = R y queda
I = MR^2\,
Anillo circular
Es un caso particular del anterior, pues el resultado no depende de la altura del cilindro
I = MR^2\,
Cilindro macizo
Hacemos R1 = 0, R2 = R y resulta
I = \frac{1}{2}MR^2\,
Disco circular
Es un caso particular del anterior
I = \frac{1}{2}MR^2\,

5 Cilindro macizo

6 Corona cilíndrica

6.1 Por integración

6.2 Por superposición

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Momento_de_inercia_de_s%C3%B3lidos_cil%C3%ADndricos"

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