Cuerda sobre disco de radio variable

De Laplace

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Revisión de 19:17 22 oct 2012

1 Enunciado

Un punto material $P$ pende verticalmente del extremo de un hilo inextensible y permanentemente tenso. Este se apoya y desliza sobre una circunferencia de radio variable con el tiempo $R(t) = R_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$ en el intervalo $0\leq t\leq\pi/2\omega$ ( $R 0$ y $ω$ son constantes conocidas), y centrada en el origen $O$ de un sistema de referencia cartesiano $O X Y$ . La longitud total del hilo es $l = π R 0 / 2$ , y su otro extremo se halla fijo en un punto $A$ , tal que $\overrightarrow{OA} = R_0 \,\vec{\jmath}$ (ver figura). Determina:

Las ecuaciones horarias cartesianas del punto $P$ , y su posición final en el instante final $t f = π / 2ω$ .
Los vectores velocidad y aceleración de dicho punto en todo instante de tiempo.
La aceleración normal de $P$ y el radio de curvatura de su trayectoria en todo instante de tiempo, así como la posición del centro de curvatura de la trayectoria en el instante inicial.

2 Solución

2.1 Ecuaciones horarias del punto P

Nuestro primer objetivo es encontrar el vector de posición del punto $P$ . Podemos construir ese vector de la siguiente manera

$\vec{r}_P = \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}$

Los puntos $A$ , $B$ y $C$ están indicados en la figura.

Para el vector $\overrightarrow{OC}$ tenemos

$\overrightarrow{OC} = R(t)\,\vec{\imath} = R_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}$

Para el vector $\overrightarrow{CP}$ tenemos

$\overrightarrow{CP} = -|\overrightarrow{CP}|\,\vec{\jmath}$

El módulo $|\overrightarrow{CP}|$ es la longitud de la cuerda menos la longitud del segmento $\overline{AB}$ y del arco $\stackrel\frown {BC}$ .

En la figura vemos los ángulos $θ$ y $α$ , con

$\alpha = \dfrac{\pi}{2}-\theta$

Del triángulo rectángulo $O B A$ tenemos

$\cos{\alpha} = \dfrac{R(t)}{R_0} = \mathrm{sen}\,(\omega t)$

Por otro lado

$\cos{\alpha} = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \mathrm{sen}\,\theta$

Igualando las dos expresiones obtenemos

$θ = ω t$

La longitud del segmento $\overline{AB}$ es

$\overline{AB} = R_0\,\mathrm{sen}\,\alpha = R_0\cos\theta = R_0\cos(\omega t)$

Mientras que la longitud del arco es

$\stackrel\frown{BC} = \theta\,R(t) = R_0\,\omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$

Por tanto, el módulo $|\overrightarrow{CP}|$ es

$|\overrightarrow{CP}| = l - R_0\cos(\omega t) - R_0\,\omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t) = R_0\,\left(\dfrac{\pi}{2} - \cos(\omega t) - \omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\right)$

Y el vector de posición de la partícula es

$\overrightarrow{OP}(t) = R_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} -R_0\,\left(\dfrac{\pi}{2} - \cos(\omega t) - \omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\right) \,\vec{\jmath}$