Cuerda sobre disco de radio variable

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un punto material $P$ pende verticalmente del extremo de un hilo inextensible y permanentemente tenso. Este se apoya y desliza sobre una circunferencia de radio variable con el tiempo $R(t) = R_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$ en el intervalo $0\leq t\leq\pi/2\omega$ ( $R 0$ y $ω$ son constantes conocidas), y centrada en el origen $O$ de un sistema de referencia cartesiano $O X Y$ . La longitud total del hilo es $l = π R 0 / 2$ , y su otro extremo se halla fijo en un punto $A$ , tal que $\overrightarrow{OA} = R_0 \,\vec{\jmath}$ (ver figura). Determina:

Las ecuaciones horarias cartesianas del punto $P$ , y su posición final en el instante final $t f = π / 2ω$ .
Los vectores velocidad y aceleración de dicho punto en todo instante de tiempo.
La aceleración normal de $P$ y el radio de curvatura de su trayectoria en todo instante de tiempo, así como la posición del centro de curvatura de la trayectoria en el instante inicial.

2 Solución

2.1 Ecuaciones horarias del punto P

Nuestro primer objetivo es encontrar el vector de posición del punto $P$ . Podemos construir ese vector de la siguiente manera

$\vec{r}_P = \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}$

Para el vector $\overrightarrow{OC}$ tenemos

$\overrightarrow{OC} = R(t)\,\vec{\imath} = R_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}$

Para el vector $\overrightarrow{CP}$ tenemos

$\overrightarrow{CP} = -|\overrightarrow{CP}|\,\vec{\jmath}$

El módulo $|\overrightarrow{CP}|$ es la longitud de la cuerda menos la longitud del segmento $\overline{AB}$ y del arco $\stackrel\frown {BC}$ . Los puntos $A$ , $B$ y $C$ están indicados en la figura.

En la figura vemos los ángulos $θ$ y $α$ , con

$\alpha = \dfrac{\pi}{2}-\theta$

Del triángulo rectángulo $O B A$ tenemos

$\cos{\alpha} = \dfrac{R(t)}{R_0} = \mathrm{sen}\,(\omega t)$

Por otro lado

$\cos{\alpha} = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \mathrm{sen}\,\theta$

Igualando las dos expresiones obtenemos

$θ = ω t$

La longitud del segmento $\overline{AB}$ es

$\overline{AB} = R_0\,\mathrm{sen}\,\alpha = R_0\cos\theta = R_0\cos(\omega t)$

Mientras que la longitud del arco es

$\stackrel\frown{BC} = \theta\,R(t) = R_0\,\omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$

Por tanto, el módulo $|\overrightarrow{CP}|$ es

$|\overrightarrow{CP}| = l - R_0\cos(\omega t) - R_0\,\omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t) = R_0\,\left(\dfrac{\pi}{2} - \cos(\omega t) - \omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\right)$

Y el vector de posición de la partícula es

$\overrightarrow{OP}(t) = R_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} -R_0\,\left(\dfrac{\pi}{2} - \cos(\omega t) - \omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\right) \,\vec{\jmath}$

En el instante $t f = π / 2ω$ el valor de este vector es

$\overrightarrow{OP}(t_f) = R_0\,\vec{\imath}$

2.2 Velocidad y aceleración

La velocidad es la derivada respecto del tiempo del vector de posición

$\vec{v}_P = \dot{\overrightarrow{OP}} = R_0\,\omega\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + R_0\omega^2 t\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}$

La aceleración es la derivada respecto del tiempo del vector velocidad

$\vec{a}_P = \dot{\vec{v}} = -R_0\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + R_0w^2\,(\cos(\omega t) - \omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t))\,\vec{\jmath}$

2.3 Radio de curvatura

El radio de curvatura en cada punto de la trayectoria es

$R_{\kappa} = \dfrac{|\vec{v}|^2}{a_N}$

Como tenemos el vector velocidad expresado en una base cartesiana, podemos calcular su módulo

$|\vec{v}(t)| = R_0\omega\sqrt{1+\omega^2t^2}\cos(\omega t)$

La aceleración normal es

$a_N = \dfrac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{|\vec{v}|} = \dfrac{R_0\omega^2\cos(\omega t)}{\sqrt{1+\omega^2t^2}}$

Con lo que el radio de curvatura es

$R_{\kappa}(t) = R_0\,\left(1+w^2t^2\right)^{3/2}\cos(\omega t)$

La posición del centro de curvatura en cada instante es

$\vec{r}_{\kappa}(t) = \overrightarrow{OP} + R_{\kappa}\vec{N}$

Nos lo piden sólo en el instante inicial, así que sólo tenemos que calcular el vector normal en el instante inicial. El vector normal es

$\vec{N} = \dfrac{\vec{a}-a_T\vec{T}}{a_N}$

En el instante inicial tenemos

$\begin{array}{l} \overrightarrow{OP}(0) = -R_0\,\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{v}_P(0) = R_0\omega\,\vec{\imath}\\ \\ \vec{a}_P(0) = R_0\omega^2\,\vec{\jmath}\\ \\ a_N(0) = R_0\omega^2\\ \\ R_{\kappa}(0) = R_0 \end{array}$