Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 14:18 19 sep 2012

Contenido

1 Formulas potencialmente incorrectas
2 Ejemplo de clasificación de vectores
3 Paralelogramo en cuadrilátero
4 Arco capaz
5 Diagonales de un rombo
6 Seno y coseno de una diferencia
7 Teoremas del seno y del coseno
8 Volumen de un paralelepípedo
9 Ejemplo de ecuación vectorial de un plano
10 Cálculo de distancia entre dos rectas
11 Ejemplo de construcción de una base
12 Sistema de ecuaciones vectoriales
13 Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)
14 Lados de un triángulo rectángulo (Ex.Nov/11)
15 Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)
16 Calcular el ángulo entre dos vectores
17 Ejemplo de operaciones con dos vectores
18 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones
19 Cálculo de las componentes de un vector

1 Formulas potencialmente incorrectas

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de análisis dimensional, $R$ es una distancia y $\vec{r}$ el vector de posición; $t$ es el tiempo:

(a) $\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}$

(b) $\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}$

(c) $\frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}$

(d) $(\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}$

(e) $\frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}$

(f) $\frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}$

(g) $L = \vec{r}\times\vec{p}$

(h) $\frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)$

2 Ejemplo de clasificación de vectores

De los siguientes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:

a) $\vec{v}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}$ en $A(3,1,1)\,$

b) $\vec{v}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}$ en $B(1,2,0)\,$

c) $\vec{v}_3 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}$ en $C(-1,3,-1)\,$

d) $\vec{v}_4 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}$ en $D(-3,4,-1)\,$

e) $\vec{v}_5 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}$ en $E(7,5,3)\,$

indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.

3 Paralelogramo en cuadrilátero

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

4 Arco capaz

Sean $A$ y $B$ dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea $P$ otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ son ortogonales.

Inversamente, sean $A$ , $B$ y $P$ tres puntos tales que $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ . Sea $C$ el punto medio entre $A$ y $B$ . Pruebe que $|\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|$ .

5 Diagonales de un rombo

Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

6 Seno y coseno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

7 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)$

y del seno

$\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}$

en un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ , y ángulos opuestos $α$ , $β$ y $γ$ .

8 Volumen de un paralelepípedo

Sean los puntos de coordenadas (en el SI) $O (1,0,2)$ , $A (3,2,4)$ , $B (2,6,8)$ y $C (2, - 3,1)$ . Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$ .

Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\overrightarrow{AO}$ , $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ .

Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.

9 Ejemplo de ecuación vectorial de un plano

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre $\vec{a}= 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+6\vec{k}$ y que contiene a un punto $P$ , cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia $O X Y Z$ viene dada por el radiovector $\vec{r} = \vec{\imath} + 5\vec{\jmath} + 3\vec{k}$ . Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen $O$ . (Unidades del SI)

10 Cálculo de distancia entre dos rectas

Sean las rectas $r 1$ , que pasa por los puntos $A ( - 2,5,1)$ y $B (7, - 7,1)$ , y $r 2$ que pasa por $C (5,4, - 3)$ y $D (5,4,2)$ (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.

11 Ejemplo de construcción de una base

Dados los vectores

$\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$ $\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}$

Construya una base ortonormal dextrógira cuyos vectores cumplan las siguientes condiciones:

El primer vector tiene la dirección y sentido de $\vec{v}$
El segundo vector está contenido en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ , y apunta hacia el mismo semiplano (respecto de $\vec{v}$ ) que el vector $\vec{a}$ .
El tercer vector es perpendicular a los dos anteriores, y está orientado según la regla de la mano derecha.

12 Sistema de ecuaciones vectoriales

Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones

$\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\cdot\vec{C}$ $\vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\vec{C}$

siendo $\vec{A}\neq \vec{0}$ , entonces $\vec{B} = \vec{C}$ ; pero si se cumple una de ellas y la otra no, entonces $\vec{B}\neq\vec{C}$ .

13 Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)

Determine todos los vectores libres que cumplen las tres siguientes condiciones:

1) Tener una longitud de $14$ m.

2) Ser ortogonal al vector $(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,$ m.

3) Formar junto a los vectores $\,\vec{\imath}\,\,$ m y $\,\vec{k}\,$ m un paralelepípedo de volumen igual a $6$ m $3$ .

14 Lados de un triángulo rectángulo (Ex.Nov/11)

¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?

1) $\,\,\,\vec{a}=(-\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}-5\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

2) $\,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}-3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(5\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

3) $\,\,\,\vec{a}=(\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(-2\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

4) $\,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

15 Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)

En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación $x-2y+2z=0\,$ y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector $\overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}$ . Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?

16 Calcular el ángulo entre dos vectores

Halle el ángulo que forman los vectores

$\vec{A}=24\vec{\imath}-32\vec{k}\qquad\mbox{y}\qquad \vec{B}=16\vec{\jmath}+12\vec{k}$

17 Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

$\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}$

¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
Escriba $\vec{a}$ como suma de dos vectores, uno paralelo a $\vec{v}$ y otro ortogonal a él.

18 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido, no nulo, $\vec{A}$ y uno que se desea determinar, $\vec{X}$ . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por $\vec{A}$

$\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}$

Determine el valor de $\vec{X}$ . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar $\vec{X}$ ?

19 Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza $\vec{F}_1$ se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra $\vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}$ , ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

@@ Línea 78: / Línea 78: @@
 <center><math>\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}</math></center>
-Construya una base ortonormal dextrógira, tal que
+Construya una base ortonormal dextrógira cuyos vectores cumplan las siguientes condiciones:
-* El primer vector vaya en la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math>
+* El primer vector tiene la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math>
-* El segundo vector esté contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>, y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>.
+* El segundo vector está contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>, y apunta hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>.
-* El tercer vector sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
+* El tercer vector es perpendicular a los dos anteriores, y está orientado según la regla de la mano derecha.
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