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Tabla de cálculo vectorial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Para coordenadas ortogonales)
(→De camino)
Línea 114: Línea 114:
====En cartesianas====
====En cartesianas====
 +
:<math>\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{u}_{x}+\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_{y}+\mathrm{d}z\mathbf{u}_{z}</math>
====En cilíndricas====
====En cilíndricas====
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:<math>\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}\rho\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}+\mathrm{d}z\mathbf{u}_{z}</math>
====En esféricas====
====En esféricas====
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:<math>\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}r\mathbf{u}_{r}+r\,\mathrm{d}\theta\,\mathbf{u}_{\theta}+r\,\operatorname{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}</math>
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===De superficie===
===De superficie===
====Para coordenadas ortogonales====
====Para coordenadas ortogonales====

Revisión de 13:23 24 jul 2008

Contenido

1 Álgebra del operador nabla

1.1 Aplicación sobre productos

1.1.1 De dos campos escalares

\nabla(\phi\psi) = \psi \,\nabla\phi+\phi\,\nabla\psi

1.1.2 De un campo escalar por uno vectorial

\nabla{\cdot}(\phi\mathbf{A}) = \nabla\phi {\cdot}\mathbf{A}+\phi\,\nabla{\cdot}\mathbf{A}
\nabla\times(\phi\mathbf{A}) = \nabla\phi\times\mathbf{A}+\phi\,\nabla\times\mathbf{A}

1.1.3 De dos campos vectoriales

\nabla{\cdot}(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (\nabla\times\mathbf{A}){\cdot}\mathbf{B}-(\nabla\times\mathbf{B}){\cdot}\mathbf{A}
\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = \mathbf{A}(\nabla{\cdot}\mathbf{B})+ (\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla{\cdot}\mathbf{A})-(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf{B}
\nabla(\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{B}) = \mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf{B}+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})+(\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{A}

1.2 Operadores de segundo orden

\nabla{\cdot}(\nabla\phi) = \nabla^2\phi
\nabla\times(\nabla\phi) = \mathbf{0}
\nabla{\cdot}(\nabla\times\mathbf{A}) = 0
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \nabla(\nabla{\cdot}\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}

1.3 Identidades de Green

1.3.1 Primera

1.3.1.1 En forma diferencial
\nabla{\cdot}(\phi\nabla\psi)=\nabla\phi{\cdot}\nabla\psi+\phi\nabla^2\psi
1.3.1.2 En forma integral
\oint_{\partial\tau}\phi\nabla\psi\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_\tau\left(\nabla\phi{\cdot}\nabla\psi+\phi\nabla^2\psi\right)\mathrm{d}\tau

1.3.2 Segunda

1.3.2.1 En forma diferencial
\nabla{\cdot}(\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi)=\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi
1.3.2.2 En forma integral
\oint_{\partial\tau}(\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_\tau\left(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi\right)\mathrm{d}\tau

2 Relación entre los sistemas de coordenadas

2.1 De cartesianas a otros sistemas

\begin{array}{ccccc} x & = & \rho\cos\varphi & =& r\,\operatorname{sen}\,\theta\cos\varphi \\&&&&\\ y &=&\rho\,\operatorname{sen}\,\varphi & = & r\,\operatorname{sen}\,\theta\,\operatorname{sen}\,\varphi\\&&&&\\ z &=& z &=& r\cos\theta\end{array}

2.2 De cilíndricas a otros sistemas

\begin{array}{ccccc}\sqrt{x^2+y^2} &=& \rho &=& r\,\operatorname{sen}\,\theta \\ &&&& \\ \operatorname{arctg}\displaystyle\frac{y}{x} &=& \varphi &=& \varphi \\&&&&\\ z &=& z&=& r\cos\theta\end{array}

2.3 De esféricas a otros sistemas

\begin{array}{ccccc}\sqrt{x^2+y^2+z^2}&= & \sqrt{\rho^2+z^2}&=& r \\&&&&\\ \operatorname{arctg}\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} & = & \operatorname{arctg}\displaystyle\frac{\rho}{z}&=& \theta \\&&&&\\ \operatorname{arctg}\displaystyle\frac{y}{x}& =& \varphi &=& \varphi\end{array}

3 Vector de posición

3.1 En cartesianas

\mathbf{r}=x\mathbf{u}_{x}+y\,\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}

3.2 En cilíndricas

\mathbf{r}=\rho\,\mathbf{u}_{\rho}+z\mathbf{u}_{z}

3.3 En esféricas

\mathbf{r}=r\mathbf{u}_{r}

4 Factores de escala

4.1 Definición

h_i=\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\right|

4.2 Cartesianas

h_x=1\,    h_y=1\,    h_z=1\,

4.3 Cilíndricas

h_\rho=1\,    h_\varphi=\rho    h_z=1\,

4.4 Esféricas

h_r=1\,    h_\theta=r\,    h_\varphi=r\,\operatorname{sen}\,\theta

5 Relación entre bases vectoriales

5.1 De cartesianas a otro sistema

\begin{array}{ccccc} \mathbf{u}_{x} & = & \cos\varphi\mathbf{u}_{\rho}-\,\operatorname{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{\varphi} & = & \,\operatorname{sen}\,\theta\cos\varphi\mathbf{u}_{r}+\cos\theta\cos\varphi\mathbf{u}_{\theta}-\,\operatorname{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{\varphi} \\ \mathbf{u}_{y} & = & \,\operatorname{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{\rho}+\cos\varphi\mathbf{u}_{\varphi} & = & \,\operatorname{sen}\,\theta\,\operatorname{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{r}+\cos\theta\,\operatorname{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{\theta}+\cos\varphi\mathbf{u}_{\varphi} \\ \mathbf{u}_{z} & = & \mathbf{u}_{z} & = & \cos\theta\mathbf{u}_{r}-\,\operatorname{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta} \end{array}

5.2 De cilíndricas a otro sistema

\begin{array}{ccccc} \cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\,\operatorname{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y} & = & \mathbf{u}_{\rho} & = & \,\operatorname{sen}\,\theta\mathbf{u}_{r}+\cos\theta\mathbf{u}_{\theta} \\ -\,\operatorname{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\varphi\mathbf{u}_{y} & = & \mathbf{u}_{\varphi}& = & \mathbf{u}_{\varphi} \\ \mathbf{u}_{z} & = & \mathbf{u}_{z} & = & \cos\theta\mathbf{u}_{r}-\,\operatorname{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}\\ \end{array}

5.3 De esféricas a otro sistema

\begin{array}{ccccc} \,\operatorname{sen}\,\theta\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\,\operatorname{sen}\,\theta\,\operatorname{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}+\cos\theta\mathbf{u}_{z} & = & \,\operatorname{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\rho}+\cos\theta\mathbf{u}_{z} & = & \mathbf{u}_{r} \\ \cos\theta\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\theta\,\operatorname{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}-\,\operatorname{sen}\,\theta\mathbf{u}_{z} & = &\cos\theta\mathbf{u}_{\rho}-\,\operatorname{sen}\,\theta\mathbf{u}_{z} & = & \mathbf{u}_{\theta} \\ -\,\operatorname{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\varphi\mathbf{u}_{y} & = & \mathbf{u}_{\varphi}& = & \mathbf{u}_{\varphi} \\ \end{array}

6 Diferenciales

6.1 De camino

6.1.1 Para coordenadas ortogonales

\mathrm{d}\mathbf{r}=h_1\,\mathrm{d}q_1\,\mathbf{u}_{1}+h_2\,\mathrm{d}q_2\,\mathbf{u}_{2}+h_3\,\mathrm{d}q_3\,\mathbf{u}_{3}

6.1.2 En cartesianas

\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{u}_{x}+\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_{y}+\mathrm{d}z\mathbf{u}_{z}

6.1.3 En cilíndricas

\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}\rho\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}+\mathrm{d}z\mathbf{u}_{z}

6.1.4 En esféricas

\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}r\mathbf{u}_{r}+r\,\mathrm{d}\theta\,\mathbf{u}_{\theta}+r\,\operatorname{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}

6.2 De superficie

6.2.1 Para coordenadas ortogonales

6.2.2 En cartesianas

6.2.3 En cilíndricas

6.2.4 En esféricas

6.3 De volumen

6.3.1 Para coordenadas ortogonales

6.3.2 En cartesianas

6.3.3 En cilíndricas

6.3.4 En esféricas

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Tabla_de_c%C3%A1lculo_vectorial"

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