Tabla de cálculo vectorial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 11:57 24 jul 2008

1 Álgebra del operador nabla

1.1 Aplicación sobre productos

1.1.1 De dos campos escalares

$\nabla(\phi\psi) = \psi \,\nabla\phi+\phi\,\nabla\psi$

1.1.2 De un campo escalar por uno vectorial

$\nabla{\cdot}(\phi\mathbf{A}) = \nabla\phi {\cdot}\mathbf{A}+\phi\,\nabla{\cdot}\mathbf{A}$

$\nabla\times(\phi\mathbf{A}) = \nabla\phi\times\mathbf{A}+\phi\,\nabla\times\mathbf{A}$

1.1.3 De dos campos vectoriales

$\nabla{\cdot}(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (\nabla\times\mathbf{A}){\cdot}\mathbf{B}-(\nabla\times\mathbf{B}){\cdot}\mathbf{A}$

$\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = \mathbf{A}(\nabla{\cdot}\mathbf{B})+ (\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla{\cdot}\mathbf{A})-(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf{B}$

$\nabla(\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{B}) = \mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf{B}+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})+(\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{A}$

1.2 Operadores de segundo orden

$\nabla{\cdot}(\nabla\phi) = \nabla^2\phi$

$\nabla\times(\nabla\phi) = \mathbf{0}$

$\nabla{\cdot}(\nabla\times\mathbf{A}) = 0$

$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \nabla(\nabla{\cdot}\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}$

1.3 Identidades de Green

1.3.1 Primera

1.3.1.1 En forma diferencial

$\nabla{\cdot}(\phi\nabla\psi)=\nabla\phi{\cdot}\nabla\psi+\phi\nabla^2\psi$

1.3.1.2 En forma integral

$\oint_{\partial\tau}\phi\nabla\psi\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_\tau\left(\nabla\phi{\cdot}\nabla\psi+\phi\nabla^2\psi\right)\mathrm{d}\tau$

1.3.2 Segunda

1.3.2.1 En forma diferencial

$\nabla{\cdot}(\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi)=\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi$

1.3.2.2 En forma integral

$\oint_{\partial\tau}(\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_\tau\left(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi\right)\mathrm{d}\tau$

2 Relación entre los sistemas de coordenadas

2.1 De cartesianas a otros sistemas

$\begin{array}{ccccc} x & = & \rho\cos\varphi & =& r\,\operatorname{sen}\,\theta\cos\varphi \\&&&&\\ y &=&\rho\,\operatorname{sen}\,\varphi & = & r\,\operatorname{sen}\,\theta\,\operatorname{sen}\,\varphi\\&&&&\\ z &=& z &=& r\cos\theta\end{array}$

2.2 De cilíndricas a otros sistemas

$\begin{array}{ccccc}\sqrt{x^2+y^2} &=& \rho &=& r\,\operatorname{sen}\,\theta \\ &&&& \\ \operatorname{arctg}\displaystyle\frac{y}{x} &=& \varphi &=& \varphi \\&&&&\\ z &=& z&=& r\cos\theta\end{array}$

2.3 De esféricas a otros sistemas

$\begin{array}{ccccc}\sqrt{x^2+y^2+z^2}&= & \sqrt{\rho^2+z^2}&=& r \\&&&&\\ \operatorname{arctg}\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} & = & \operatorname{arctg}\displaystyle\frac{\rho}{z}&=& \theta \\&&&&\\ \operatorname{arctg}\displaystyle\frac{y}{x}& =& \varphi &=& \varphi\end{array}$