Dilatación y compresibilidad (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 15:01 12 feb 2012

Contenido

1 Introducción
2 Coeficiente de dilatación lineal
3 Otros coeficiente de dilatación
4 Caso de un gas ideal
5 Anomalía térmica del agua

1 Introducción

Una de las propiedades termométricas de uso más frecuente es la dilatación o contracción de una columna de un líquido (mercurio o alcohol) o de una fina metálica.

Estos termómetros se basan en el hecho empírico de que la longitud de una porción de material cambia con la temperatura (normalmente expandiéndose al aumentar ésta). La causa microscópica de este fenómeno es la variación de la energía cinética de los átomos del material, lo que provoca un cambio en las distancias de equilibrio entre los diferentes átomos, y que se traduce en una dilatación (o contracción) macroscópica.

2 Coeficiente de dilatación lineal

Considerando solo variables macroscópicas, la longitud de una porción de material será una función de la temperatura

$L= L(t_C)\,$

donde en general esta función podrá ser muy complicada.

Si consideramos pequeñas dilataciones de una pieza respecto a la longitud $L 0$ que mide cuando la temperatura es $t 0$ , tenemos que en primera aproximación la dilatación de una pieza es proporcional a la propia longitud de la pieza, es decir, si una barra de 1 m se dilata 1&thinp;mm, una de 2 m s dilatará 2 mm. Por ello

$\frac{\Delta L}{L_0} = f(t_C)$

siendo $f (t C)$ una cierta función de la temperatura, pero no de la longitud de la pieza. Esta función se anula en $t 0$ y si nos separamos poco de esta temperatura podemos hacer una aproximación lineal y admitir que la dilatación es proporcional al incremento de temperatura (si con un incremento de 1°C se dilata 1 mm, con 2°C se dilata 2 mm), por lo que podemos escribir

$f(t_C)\simeq \alpha \Delta t_C$

o, equivalentemente

$\frac{1}{L}\frac{\Delta L}{\Delta t_C} = \alpha$

y

$L(t_C)=L_0+\Delta L \simeq L_0(1+\alpha(t_C-t_0))\,$

El factor $α$ es el denominado coeficiente de dilatación lineal. Rigurosamente se define empleando derivadas en lugar de incrementos

$\alpha \equiv \frac{1}{L}\,\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t_C}=\frac{1}{L}\,\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}T}$

Las unidades en que se mide $α$ en el SI son $K - 1$ (aunque, dado que se define a partir de incrementos, también pueden emplearse $(^\circ\mathrm{C})^{-1}$ : normalmente es un valor muy pequeño, por lo que suelen usarse submúltiplos para expresarlo.

El coeficiente de dilatación lineal es una función de la temperatura, ya que se calcula a partir de la derivada en un cierto punto $t C = t 0$ . Si se halla a una temperatura diferente dará otro resultado (aunque si las temperaturas son próximas, los dos valores serán casi iguales).

Algunos valores de este coeficiente son

Material	$\alpha\ (10^{-6}\mathrm{K}^{-1})$ a 20°C	Material	$\alpha\ (10^{-6}\mathrm{K}^{-1})$ a 20°C	Material	$\alpha\ (10^{-6}\mathrm{K}^{-1})$ a 20°C	Material	$\alpha\ (10^{-6}\mathrm{K}^{-1})$ a 20°C
Aluminio	23	Agua	69	Acero inox.	17.3	Diamante	1
Etanol	250	Hierro	11.8	Hormigón	12	Mercurio	61
Oro	14	Plata	18	Vidrio	8.5	YbGaGe	∼0

3 Otros coeficiente de dilatación

3.1 Superficial

Salvo en casos muy poco frecuentes, cuando una pieza de un material se dilata, todas sus dimensiones se multiplican en la misma proporción. Esto quiere decir que si tenemos una chapa metálica rectangular de base

b 0

y altura

h 0

a una temperatura

t 0

, y la sometemos a un incremento de temperatura

Δ t C

, su nueva área será $S(t_C) = b(t_C)h(t_C) = b_0(1+\alpha \Delta T)h_0(1+\alpha \Delta T) = S_0\left(1+2\alpha \Delta T + \alpha^2 (\Delta T)^2\right)$

Puesto que las dilataciones son usualmente muy pequeñas el último término es despreciable, por lo que se puede hacer la aproximación

$S(t_C)\simeq S_0\left(1+\alpha_S(t_C-t_0)\right)$

donde el coeficiente de dilatación superficial es igual al doble del lineal

$\alpha_S = 2\alpha\,$

Hay que destacar que en una dilatación superficial (o volumétrica) todas las dimensiones se ven incrementadas. Esto quiere decir que si tenemos una pieza con un agujero, el tamaño del agujero aumenta con la temperatura, no se ve reducido porque el material rellene el agujero al dilatarse.

3.2 Volumétrico

De la misma manera que para una superficie, tenemos el aumento de volumen de un bloque como consecuencia del aumento de la temperatura

$V(t_C)\simeq V_0\left(1+\beta (t_C-t_0)\right)$

donde el coeficiente de dilatación volumétrico es aproximadamente igual al triple del lineal

$\beta = 3\alpha\,$

El coeficiente de dilatación volumétrico puede definirse sin necesidad de pasar por el lineal, como

$\beta = \frac{1}{V}\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}$

3.3 Variación en la densidad

Si un bloque de un material se dilata su densidad disminuye, ya que la masa del bloque permanece constante. La variación de la densidad la obtenemos imponiento la conservación de la masa

$M = \rho_0V_0 = \rho(t_C)V(t_C) = \rho_0\left(1+\alpha_\rho \Delta t_C\right)V_0\left(1+\beta\Delta t_c\right) \simeq M\left(1+(\alpha_\rho+\beta)\Delta t_0\right)$

Puesto que la masa no varía con la temperatura, debe ser

$\alpha_\rho = -\beta\,$

lo que nos da la disminución de la densidad

$\rho(t_C)\simeq \rho_0\left(1-\beta (t_C-t_0)\right)$

y una definición alternativa del coeficiente de dilatación volumétrico si lo que se conoce es la densidad como función de la temperatura:

$\beta = -\frac{1}{\rho}\,\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}T}$

4 Caso de un gas ideal

En el caso de un gas ideal es sencillo calcular el coeficiente de dilatación volumétrico. Para una presión dada el volumen es proporcional a la temperatura según la ley de Charles

$V = \frac{nR}{p}T$

Derivando respecto a la temperatura y dividiendo por el propio volumen

$\beta = \frac{1}{V}\,\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p = \frac{1}{V}\,\frac{nR}{p}=\frac{1}{T}$

El símbolo de derivada parcial, y el subíndice $p$ se incluyen para recordar que se trata de la derivada respecto a la temperatura, manteniendo constante la presión.

Para una temperatura de 25°C, este coeficiente de dilatación será igual

$\beta(25^\circ\mathrm{C}) = \frac{1}{273.15+25}\mathrm{K}^{-1}=3.35\times 10^{-3}\mathrm{K}^{-1}$

Esto quiere decir que si tenemos 1 l de gas a 25°C y subimos su temperatura 1°C (o 1 K) manteniendo constante su presión, el volumen aumenta en 3.35 cm³.

5 Anomalía térmica del agua

@@ Línea 123: / Línea 123: @@
 ==Caso de un gas ideal==
+En el caso de un gas ideal es sencillo calcular el coeficiente de dilatación volumétrico. Para una presión dada el volumen es proporcional a la temperatura según la ley de Charles
+<center><math>V = \frac{nR}{p}T</math></center>
+Derivando respecto a la temperatura y dividiendo por el propio volumen
+<center><math>\beta = \frac{1}{V}\,\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p = \frac{1}{V}\,\frac{nR}{p}=\frac{1}{T}</math></center>
+El símbolo de derivada parcial, y el subíndice <math>p</math> se incluyen para recordar que se trata de la derivada respecto a la temperatura, manteniendo constante la presión.
+Para una temperatura de 25&deg;C, este coeficiente de dilatación será igual
+<center><math>\beta(25^\circ\mathrm{C}) = \frac{1}{273.15+25}\mathrm{K}^{-1}=3.35\times 10^{-3}\mathrm{K}^{-1}</math></center>
+Esto quiere decir que si tenemos 1&thinsp;l de gas a 25&deg;C y subimos su temperatura 1&deg;C (o 1&thinsp;K) manteniendo constante su presión, el volumen aumenta en 3.35&thinsp;cm&sup3;.
 ==Anomalía térmica del agua==
 [[Categoría:Termodinámica (GIE)]]

Dilatación y compresibilidad (GIE)

De Laplace

Revisión de 15:01 12 feb 2012

Contenido

1 Introducción

2 Coeficiente de dilatación lineal

3 Otros coeficiente de dilatación

3.1 Superficial

3.2 Volumétrico

3.3 Variación en la densidad

4 Caso de un gas ideal

5 Anomalía térmica del agua

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