Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Dos masas unidas en un aro

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 120: Línea 120:
<center><math>I_O = mR^2+mR^2 = 2(50\mathrm{g})\left(50\,\mathrm{cm}\right)^2=250000\,\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2\qquad\qquad I_C = my_1^2+my_2^2 = 2(50\mathrm{g})\left(30\,\mathrm{cm}\right)^2=90000\,\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2</math></center>
<center><math>I_O = mR^2+mR^2 = 2(50\mathrm{g})\left(50\,\mathrm{cm}\right)^2=250000\,\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2\qquad\qquad I_C = my_1^2+my_2^2 = 2(50\mathrm{g})\left(30\,\mathrm{cm}\right)^2=90000\,\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2</math></center>
 +
===Energía cinética===
 +
Como con el momento cinético, la energía cinética es la suma de las de las dos partículas
 +
 +
<center><math>K = \frac{1}{2}m|\vec{v}_1|^2+\frac{1}{2}m|\vec{v}_2|^2 = mv_0^2 = (50\,\mathrm{g})\left(10\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\right)^2 = 5000\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 +
 +
Esta energía cinética puede también descomponerse en dos partes
 +
 +
<center><math>K = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2+K'</math></center>
 +
 +
y de aquí despejamos la energía cinética respecto al centro de masas
 +
 +
<center><math>K' = K-\frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2 = 5000\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^2}-\frac{1}{2}\left(100\,\mathrm{g}\right)\left(8\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\right)^2 = \left(5000-3200\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^2} = 1800\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 +
 +
Estas dos energías cinéticas puedes también calcularse a partir de los momento de inercia hallados anteriormente
 +
 +
<center><math>K=\frac{1}{2}I_O|\vec{\omega}|^2 \qquad\qquad K'=\frac{1}{2}I_C |\vec{\omega}|^2</math></center>
==Fuerzas y momentos==
==Fuerzas y momentos==
[[Categoría:Dinámica del sólido rígido (GIE)]]
[[Categoría:Dinámica del sólido rígido (GIE)]]

Revisión de 23:41 30 ene 2012

Contenido

1 Enunciado

Dos pequeñas masas iguales m_1=m_2=m=50\,\mathrm{g} se encuentran ensartadas en un aro circular de radio R=50\,\mathrm{cm} (de masa despreciable). Las masas están unidas entre sí por una varilla rígida de longitud H=60\,\mathrm{cm} y masa despreciable. La masa m1 se mueve en todo momento con rapidez v_0=10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}.

  1. Empleando el sistema de ejes de la figura en el que el eje OX es ortogonal a la varilla, determine las posiciones, velocidades y aceleraciones de ambas masas y del centro de masas del sistema.
  2. Calcule la velocidad angular del sistema de dos masas.
  3. Halle el momento cinético y la energía cinética del sistema respecto al centro del aro y respecto al centro de masas.
  4. Calcule la fuerza que el aro ejerce sobre cada una de las masas. Determine la resultante y el momento resultante de estas fuerzas respecto al centro del anillo y respecto al centro de masas.
Archivo:dos-masas-aro.png

2 Posiciones, velocidades y aceleraciones

2.1 Posiciones

Obtenemos las tres posiciones casi por simple inspección.

Masa 1
Conocemos su coordenada y, ya que por simetría, el OX pasa por el centro de la varilla
y_1 = \frac{H}{2}=30\,\mathrm{cm}
y calculamos su coordenada x aplicando el teorema de Pitágoras
x = \sqrt{50^2-30^2}\,\mathrm{cm} = 40\,\mathrm{cm}
lo que nos da el vector de posición
\vec{r}_1 = \left(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{cm}
Masa 2
Su posición es la simétrica de la 1.
\vec{r}_2 = \left(40\vec{\imath}-30\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{cm}
Centro de masas
Por ser las dos masas iguales, el CM está en el punto medio entre las dos
\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{50\left(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\right)+50\left(40\vec{\imath}-30\vec{\jmath}\right)}{100}\mathrm{cm}=\left(40\vec{\imath}\right)\,\mathrm{cm}

2.2 Velocidades

De la masa 1 conocemos su rapidez

\left|\vec{v}_1\right|=v_0 = 10\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}

De esta masa sabemos describe una trayectoria circular alrededor del origen, por lo que su velocidad cumple

\vec{v}_1 = \vec{\omega}\times\vec{r}_1

siendo la velocidad angular en la dirección del eje de giro

\vec{\omega} = \omega\vec{k}

El valor de esta velocidad angular es

\omega = \frac{|\vec{v}_1|}{|\vec{r}_1|}= \frac{v_0}{R}=\frac{10}{50}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} = 0.2\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

y esto nos da la velocidad lineal, en cm/s

\vec{v}_1=\left(0.2\vec{k}\right)\times(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}) = \left(-6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}

Operando igualmente obtenemos la velocidad de la segunda masa, que describirá otro movimiento circular con la misma velocidad angular

\vec{v}_2=\left(0.2\vec{k}\right)\times(40\vec{\imath}-30\vec{\jmath}) = \left(6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}

La velocidad del CM es, como la posición, la media aritmética de las dos velocidades

\vec{v}_C = \frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{50\left(-6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)+50\left(6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)}{100}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(8\vec{\jmath}\right)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}

2.3 Aceleraciones

El movimiento circular de la masa 1 es uniforme, con rapidez constante. Por tanto, su aceleración es puramente normal e igual en módulo a

a_1 = \frac{v_0^2}{R}=\omega^2 R

Su dirección será radial y hacia adentro, lo que se puede escribir en forma vectorial

\vec{a}_1 = -\omega^2\vec{r}_1

y lo mismo para la masa 2. Esto nos da las aceleraciones, en cm/s²

\vec{a}_1 = -\left(0.2\right)^2\left(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2} = \left(-1.6\vec{\imath}-1.2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}

y para la masa 2 será la simétrica

\vec{a}_2 = \left(-1.6\vec{\imath}+1.2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}

La aceleración del CM es la media de estas dos

\vec{a}_C = \frac{m_1\vec{a}_1+m_2\vec{a}_2}{m_1+m_2}=\frac{50\left(-1.6\vec{\imath}-1.2\vec{\jmath}\right)+50\left(-1.6\vec{\imath}+1.2\vec{\jmath}\right)}{100}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}=\left(-1.6\vec{\imath}\right)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}

3 Velocidad angular

El centro instantáneo de rotación del sólido formado por las dos masas y la varilla es el origen O, ya que en él se cortan las dos perpendiculares a las velocidades. Por tanto, la velocidad de cada punto del sólido (incluyendo su CM) se puede escribir

\vec{v}_i = \vec{\omega}\times\vec{r}_i

Esta es justamente la relación que empleamos antes para hallar la velocidad de la masa 1. Por tanto, no hace falta volver a hallar la velocidad angular. La que tiene en la partícula en su movimiento circular es la misma que la que tiene el sólido en su movimiento de rotación:

\vec{\omega} = \left(0.2\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

4 Momento cinético y energía cinética

4.1 Momento cinético

El momento cinético respecto al origen es la suma de los momentos cinéticos individuales

\vec{L}_O = m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2=50\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 40 & 30 & 0 \\ -6 & 8 & 0 \end{matrix}\right|+50\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 40 & -30 & 0 \\ 6 & 8 & 0 \end{matrix}\right| = \left(50000\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}

Este momento cinético se puede descomponer como

\vec{L}_O = M\vec{r}_C\times\vec{v}_C+\vec{L}'

y de aquí despejamos el momento cinético respecto al centro de masas

\vec{L}'=\vec{L}_O-M\vec{r}_C\times\vec{v}_C = 50000\vec{k}-100\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 40 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \end{matrix}\right|=\left((50000-32000)\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}= \left(18000\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}

Estos dos momentos cinéticos pueden calcularse también según la fórmula

\vec{L}_O = I_O\vec{\omega}\qquad \vec{L}' = I_C\vec{\omega}

siendo los momentos de inercia las sumas de las masas multiplicadas por las distancias al cuadrado al punto O y al CM respectivamente

I_O = mR^2+mR^2 = 2(50\mathrm{g})\left(50\,\mathrm{cm}\right)^2=250000\,\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2\qquad\qquad I_C = my_1^2+my_2^2 = 2(50\mathrm{g})\left(30\,\mathrm{cm}\right)^2=90000\,\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2

4.2 Energía cinética

Como con el momento cinético, la energía cinética es la suma de las de las dos partículas

K = \frac{1}{2}m|\vec{v}_1|^2+\frac{1}{2}m|\vec{v}_2|^2 = mv_0^2 = (50\,\mathrm{g})\left(10\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\right)^2 = 5000\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^2}

Esta energía cinética puede también descomponerse en dos partes

K = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2+K'

y de aquí despejamos la energía cinética respecto al centro de masas

K' = K-\frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2 = 5000\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^2}-\frac{1}{2}\left(100\,\mathrm{g}\right)\left(8\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\right)^2 = \left(5000-3200\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^2} = 1800\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^2}

Estas dos energías cinéticas puedes también calcularse a partir de los momento de inercia hallados anteriormente

K=\frac{1}{2}I_O|\vec{\omega}|^2 \qquad\qquad K'=\frac{1}{2}I_C |\vec{\omega}|^2

5 Fuerzas y momentos

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Dos_masas_unidas_en_un_aro"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace