Dos masas unidas en un aro

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 21:26 30 ene 2012

Contenido

1 Enunciado
2 Posiciones, velocidades y aceleraciones
3 Velocidad angular
4 Momento cinético y energía cinética
5 Fuerzas y momentos

1 Enunciado

Dos pequeñas masas iguales $m_1=m_2=m=50\,\mathrm{g}$ se encuentran ensartadas en un aro circular de radio $R=50\,\mathrm{cm}$ (de masa despreciable). Las masas están unidas entre sí por una varilla rígida de longitud $H=60\,\mathrm{cm}$ y masa despreciable. La masa $m 1$ se mueve en todo momento con rapidez $v_0=10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ .

Empleando el sistema de ejes de la figura en el que el eje OX es ortogonal a la varilla, determine las posiciones, velocidades y aceleraciones de ambas masas y del centro de masas del sistema.
Calcule la velocidad angular del sistema de dos masas.
Halle el momento cinético y la energía cinética del sistema respecto al centro del aro y respecto al centro de masas.
Calcule la fuerza que el aro ejerce sobre cada una de las masas. Determine la resultante y el momento resultante de estas fuerzas respecto al centro del anillo y respecto al centro de masas.

2 Posiciones, velocidades y aceleraciones

2.1 Posiciones

Obtenemos las tres posiciones casi por simple inspección.

Masa 1: Conocemos su coordenada $y$ , ya que por simetría, el OX pasa por el centro de la varilla

$y_1 = \frac{H}{2}=30\,\mathrm{cm}$

y calculamos su coordenada

x

aplicando el teorema de Pitágoras

$x = \sqrt{50^2-30^2}\,\mathrm{cm} = 40\,\mathrm{cm}$

lo que nos da el vector de posición

$\vec{r}_1 = \left(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{cm}$

Masa 2: Su posición es la simétrica de la 1.

$\vec{r}_2 = \left(40\vec{\imath}-30\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{cm}$

Centro de masas: Por ser las dos masas iguales, el CM está en el punto medio entre las dos

$\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{50\left(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\right)+50\left(40\vec{\imath}-30\vec{\jmath}\right)}{100}\mathrm{cm}=\left(40\vec{\imath}\right)\,\mathrm{cm}$

2.2 Velocidades

De la masa 1 conocemos su rapidez

$\left|\vec{v}_1\right|=v_0 = 10\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

De esta masa sabemos describe una trayectoria circular alrededor del origen, por lo que su velocidad cumple

$\vec{v}_1 = \vec{\omega}\times\vec{r}_1$

siendo la velocidad angular en la dirección del eje de giro

$\vec{\omega} = \omega\vec{k}$

El valor de esta velocidad angular es

$\omega = \frac{|\vec{v}_1|}{|\vec{r}_1|}= \frac{v_0}{R}=\frac{10}{50}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} = 0.2\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

y esto nos da la velocidad lineal, en cm/s

$\vec{v}_1=\left(0.2\vec{k}\right)\times(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}) = \left(-6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

Operando igualmente obtenemos la velocidad de la segunda masa, que describirá otro movimiento circular con la misma velocidad angular

$\vec{v}_2=\left(0.2\vec{k}\right)\times(40\vec{\imath}-30\vec{\jmath}) = \left(6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

La velocidad del CM es, como la posición, la media aritmética de las dos velocidades

$\vec{v}_C = \frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{50\left(-6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)+50\left(6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)}{100}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(8\vec{\jmath}\right)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

2.3 Aceleraciones

El movimiento circular de la masa 1 es uniforme, con rapidez constante. Por tanto, su aceleración es puramente normal e igual en módulo a

$a_1 = \frac{v_0^2}{R}=\omega^2 R$

Su dirección será radial y hacia adentro, lo que se puede escribir en forma vectorial

$\vec{a}_1 = -\omega^2\vec{r}_1$

y lo mismo para la masa 2. Esto nos da las aceleraciones, en cm/s²

$\vec{a}_1 = -\left(0.2\right)^2\left(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2} = \left(-1.6\vec{\imath}-1.2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}$

y para la masa 2 será la simétrica

$\vec{a}_2 = \left(-1.6\vec{\imath}+1.2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}$

La aceleración del CM es la media de estas dos

$\vec{a}_C = \frac{m_1\vec{a}_1+m_2\vec{a}_2}{m_1+m_2}=\frac{50\left(-1.6\vec{\imath}-1.2\vec{\jmath}\right)+50\left(-1.6\vec{\imath}+1.2\vec{\jmath}\right)}{100}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}=\left(-1.6\vec{\imath}\right)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

3 Velocidad angular

4 Momento cinético y energía cinética

5 Fuerzas y momentos

@@ Línea 66: / Línea 66: @@
 <center><math>\vec{v}_C = \frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{50\left(-6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)+50\left(6\vec{\imath}+8\vec{\jmath}\right)}{100}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(8\vec{\jmath}\right)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>
+===Aceleraciones===
+[[Archivo:dos-masas-aro-03.png|right]]
+El movimiento circular de la masa 1 es uniforme, con rapidez constante. Por tanto, su aceleración es puramente normal e igual en módulo a
+<center><math>a_1 = \frac{v_0^2}{R}=\omega^2 R</math></center>
+Su dirección será radial y hacia adentro, lo que se puede escribir en forma vectorial
+<center><math>\vec{a}_1 = -\omega^2\vec{r}_1</math></center>
+y lo mismo para la masa 2. Esto nos da las aceleraciones, en cm/s&sup2;
+<center><math>\vec{a}_1 = -\left(0.2\right)^2\left(40\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2} = \left(-1.6\vec{\imath}-1.2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
+y para la masa 2 será la simétrica
+<center><math>\vec{a}_2 = \left(-1.6\vec{\imath}+1.2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
+La aceleración del CM es la media de estas dos
+<center><math>\vec{a}_C = \frac{m_1\vec{a}_1+m_2\vec{a}_2}{m_1+m_2}=\frac{50\left(-1.6\vec{\imath}-1.2\vec{\jmath}\right)+50\left(-1.6\vec{\imath}+1.2\vec{\jmath}\right)}{100}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}=\left(-1.6\vec{\imath}\right)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>
 ==Velocidad angular==
 ==Momento cinético y energía cinética==
 ==Fuerzas y momentos==
 [[Categoría:Dinámica del sólido rígido (GIE)]]

Dos masas unidas en un aro

De Laplace

Revisión de 21:26 30 ene 2012

Contenido

1 Enunciado

2 Posiciones, velocidades y aceleraciones

2.1 Posiciones

2.2 Velocidades

2.3 Aceleraciones

3 Velocidad angular

4 Momento cinético y energía cinética

5 Fuerzas y momentos

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES