Balanza de frutero

De Laplace

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Revisión de 14:45 10 ene 2012

1 Enunciado

Una balanza de frutero cuelga verticalmente de forma que cuándo sólo está el plato, de masa 200 g, la elongación respecto de la elongación natural es de 1.00 cm. De pronto, el frutero suelta 1.00 kg de plátanos en el plato. Despreciando el rozamiento,

¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones resultantes?
Cuál es su período?
¿Cuál es la velocidad máxima de los plátanos?
¿Cuánto vale la energía mecánica del sistema si tomamos como referencia de alturas la posición inicial del plato?
Supón que, estando en el punto más bajo de sus oscilaciones, uno de los plátanos (de 100 g de masa) cae del plato. ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones que hace el plato a partir de ese momento?

2 Solución

2.1 Constante del resorte

Cuando sólo está colgando el plato vacío (masa $m_1=200\,\mathrm{g}$ ), las fuerzas sobre éste son su peso y la fuerza del resorte. Siguiendo la figura, escogemos el eje $X$ apuntando hacia abajo, de modo que el origen está en el punto de anclaje del muelle. Cuando no está el plato, el extremo del muelle está en $x 0$ (la elongación natural). Al colgar el plato, la posición de equilibrio se obtiene cuando la fuerza del muelle equilibra el peso del plato

$k\,\Delta x_1 = m_1\,g \Longrightarrow k = \dfrac{m_1\,g}{\Delta x_1}$

La elongación respecto a la elongación natural es

$\Delta x_1 = x_1 - x_0 = 1.00\,\mathrm{cm}$

por lo que la constante del muelle es

$k = 196\,\mathrm{N/m}$

2.2 Amplitud de las oscilaciones

Las oscilaciones del muelle vienen dadas por la expresión

$s (t) = A cos(ω t + φ)$

donde $s (t)$ es la posición del plato respecto de la posición de equilibrio. Las constantes $A$ y $φ$ se determinan a partir de las condiciones iniciales.

Al añadir los plátanos, de masa $m_2 = 1.00\,\mathrm{kg}$ , la posición de equilibrio cambia. En esa nueva posición de equilibrio el resorte debe compensar el peso de del plato y los plátanos. La elongación de equilibrio respecto a la elongación natural se obtiene de