Propiedades dinámicas de un sólido rígido

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:39 28 dic 2011

Contenido

1 Introducción
2 Masa
3 Cantidad de movimiento
4 Momento cinético
5 Momento de inercia
6 Energía cinética
7 Energía potencial

1 Introducción

A la hora de establecer las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido se debe, en primer lugar, definir qué magnitudes lo caracterizan, para poder escribir correctamente las ecuaciones de evolución.

2 Masa

En cinemática del sólido rígido no es necesario considerar la extensión real del sólido. Puede describirse el campo de velocidades suponiendo que se extiende a todos los puntos del espacio tanto interiores como exteriores al sólido, sin importar si en estos puntos existe una partícula material o no.

En dinámica, en cambio, sí es importante considerar la extensión finita del sólido. Un sólido real ocupa un volumen $V$ que por definición es indeformable (aunque puede trasladarse y rotar en el espacio). En este volumen existe una serie de partículas, con masas $m i$ de forma que el sólido posee una masa total

$M = m_1+m_2+\cdots = \sum_i m_i$

Para la mayoría de los sólidos, no obstante, es preferible modelarlos como un continuo que llena toda una región del espacio. En cada elemento de volumen $d V$ existe una pequeña cantidad de sólido relacionada con el volumen a través de la densidad de masa

$\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V\qquad\Rightarrow\qquad M = \int_M \mathrm{d}m = \int_V \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V$

En un sólido homogéneo la densidad de masa es la misma en todos sus puntos y

$M = \int_V \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V = \rho_0\int_V\mathrm{d}V = \rho_0V$

Así para sólidos homogéneos de formas:

Paralelepípedo:

$M = \rho abc\,$

Cilindro

$M = \pi\rho R^2 h\,$

Esfera

$M = \frac{4\pi}{3}\rho R^3\,$

En ocasiones puede suponerse que un sólido se reduce a una fina lámina. Se define entonces la densidad superficial de masa, $σ$ ,

$\mathrm{d}m = \sigma\,\mathrm{d}S\qquad\Rightarrow\qquad M = \int_M \mathrm{d}m = \int_S \sigma(\vec{r})\,\mathrm{d}S$

que, para el caso de un sólido homogéneo nos da

$M = \sigma\,S$

Así, por ejemplo, para una hoja tamaño A4 de 80 g/m² su masa es

$M = \sigma b h = 80\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}^2}(210\,\mathrm{mm})(297\,\mathrm{mm})\left(\frac{1\,\mathrm{m}}{1000\,\mathrm{mm}}\right)^2 = 5.0\,\mathrm{g}$

Aplicando las fórmulas del área de una superficie cilíndrica o esférica obtenemos las masas

$M = 2\pi\sigma\,R\,h\quad\mbox{(cilindro)}\qquad\qquad M = 4\pi\sigma R^2\quad\mbox{(esfera)}$

3 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de un sólido es igual a la suma de la cantidad de movimiento de cada una de las partículas que lo componen

$\vec{p}=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+\cdots$

Por tratarse de un sólido, estas velocidades verifican el teorema de Chasles

$\vec{v}_i = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_i$

lo cual, al sustituir en la expresión de la cantidad de movimiento nos da

$\vec{p}=\left(m_1+m_2+\cdots\right)\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\left(m_1\vec{r}_1+m\vec{r}_2+\cdots\right)$

El primero de los dos paréntesis es la masa total del sólido, mientras que el segundo nos da la posición del centro de masas

$\vec{p}=M\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\left(M\vec{r}_c\right)=M\left(\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_c\right)$

Por otro lado, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas se relaciona con la velocidad del centro de masas

$\vec{p}=M\vec{v}_c$

Igualando ambas expresiones obtenemos la velocidad del centro de masas del sólido

$\vec{v}_c = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_c$

Esta igualdad simplemente nos dice que el centro de masas se mueve rígidamente con el sólido estando siempre en la misma posición relativa a éste (aunque el CM puede no coincidir con ninguna de las partículas del sólido, se mueve como una más de ellas).

4 Momento cinético

El momento cinético del sólido equivale a la suma de los momentos cinéticos de cada una de las partículas que lo componen

$\vec{L}_O=m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2 + \cdots$

Este momento cinético puede descomponerse en una parte debida al movimiento con el centro de masas más otra debida al movimiento alrededor del centro de masas

$\vec{L}_O=M\vec{r}_c\times\vec{v}_c + \vec{L}'$

siendo

$\vec{L}' = m_1\vec{r}^{\,,}_1\times\vec{v}^{\,,}_1+m_1\vec{r}^{\,,}_2\times\vec{v}^{\,,}_2$

Si aquí sustituimos la expresión del campo de velocidades de un sólido,

$\vec{v}_i = \vec{v}_c + \vec{\omega}\times(\vec{r}_i-\vec{r}_c)\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^{\,,}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i^{\,,}$

nos queda

$\vec{L}' = m_1\vec{r}^{\,,}_1\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_1^{\,,})+m_1\vec{r}^{\,,}_2\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_2^{\,,})$

Debido al doble producto vectorial, esta expresión es bastante más compleja que la de la cantidad de movimiento, por lo que solo consideraremos los casos más sencillos.

Supongamos una partícula $m 1$ que describe una circunferencia de radio $R 1$ en torno al CM con velocidad angular $\vec{\omega}$ . El momento cinético de esta partícula respecto al centro de la circunferencia es perpendicular al plano de ésta y de módulo

$|\vec{L}'_1| = m_1|\vec{r}'_1||\vec{v}'_1| = m_1(R_1)(\omega R_1) = m_1R_1^2\omega$

Puesto que en este caso el momento cinético tiene la misma dirección y sentido que la velocidad angular, podemos escribir esta expresión en forma vectorial

$\vec{L}'_1 = m_1R_1^2\vec{\omega}$

Si ahora consideramos un sólido simétrico (como un disco, una esfera o un cilindro) que gira en torno un eje dado que pasa por el CM, cada uno de los puntos ontribuye de manera análoga y el momento cinético total respecto al CM vale

$\vec{L}'=\left(m_1R_1^2+m_2R_2^2+\cdots\right)\vec{\omega}=I\vec{\omega}$

siendo $R i$ la distancia de cada punto al eje e $I$ una nueva magnitud conocida como momento de inercia (que se discute con más detalle más adelante).

Esta igualdad nos dice que el momento cinético de un sólido simétrico respecto a un eje que pasa por su CM es proporcional a la velocidad angular con la que gira, de manera análoga a cómo la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad del CM. La constante de proporcionalidad es el momento de inercia, que desempeña el papel de la masa en cuanto a medida de la inercia del sólido respecto a una rotación.

La igualdad anterior no siempre es cierta, ya que para una partícula el momento cinético respecto a un punto que no es el centro de la circunferencia que describe (aunque sea del eje de rotación) no será en general paralelo a la velocidad angular. Sólo para sólidos que tienen este eje como de simetría se cancelan las componentes no paralelas y resulta una situación de paralelismo entre $\vec{L}'$ y $\vec{\omega}$ .

5 Momento de inercia

Dado un sólido rígido, se define su momento de inercia respecto a un eje como la cantidad

$I = \sum_i m_1 R_i^2\,$

donde $R i$ es la distancia de una partícula $m 1$ al eje. En el caso de que tengamos una distribución continua, la expresión correspondiente es la integral

$I = \int_M R^2\,\mathrm{d}m$

donde $R$ será en general diferente para cada elemento de masa $d m$ .

En los casos particulares frecuentes de que el eje respecto al que se calcula el momento de inercia se haga coincidir con uno de los ejes de coordenadas obtenemos los momento s de inercia

$I_{xx}=\int_m(y^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad\qquad I_{yy}=\int_m(x^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad I_{zz}=\int_m(x^2+y^2)\,\mathrm{d}m$

6 Energía cinética

7 Energía potencial

@@ Línea 128: / Línea 128: @@
 En los casos particulares frecuentes de que el eje respecto al que se calcula el momento de inercia se haga coincidir con uno de los ejes de coordenadas obtenemos los momento s de inercia
-<center><math>I_{xx}=\int_m(y^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad\qquad I_{yy}=\int_m(x^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquadI_{zz}=\int_m(x^2+y^2)\,\mathrm{d}m</math></center>
+<center><math>I_{xx}=\int_m(y^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad\qquad I_{yy}=\int_m(x^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad I_{zz}=\int_m(x^2+y^2)\,\mathrm{d}m</math></center>
 ==Energía cinética==
 ==Energía potencial==
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Propiedades dinámicas de un sólido rígido

De Laplace

Revisión de 13:39 28 dic 2011

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