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Clasificación de movimientos de un sólido (versión 2011)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Condición cinemática de rigidez)
(→Condición cinemática de rigidez)
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Vemos que el caso IV y el caso VI no cumplen la condición cinemática de rigidez y no pueden ser movimientos rígidos.
==Caso general==
==Caso general==

Revisión de 23:09 16 dic 2011

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sólido formado por ocho masas iguales, m=100\,\mathrm{g}, situadas en los vértices de un cubo de lado b=10\,\mathrm{cm}. En un instante dado, una de ellas se encuentra en el origen de coordenadas y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas.

Archivo:ocho-masas.png

Considere los casos siguientes para las velocidades de las masas situadas en \vec{r}_1=b\vec{\imath}, \vec{r}_2=b\vec{\jmath} y \vec{r}_3=b\vec{k}

Caso \vec{v}_1 (cm/s) \vec{v}_2 (cm/s) \vec{v}_3 (cm/s)
I 2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+4\vec{k} 2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+4\vec{k} 2\vec{k}
II 2\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k} 3\vec{\imath}+2\vec{\jmath} 2\vec{\imath}+4\vec{\jmath} + 2\vec{k}
III 2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k} 2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k} 2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}
IV 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath} \vec{\imath}+2\vec{\jmath}-\vec{k} 4\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+2\vec{k}
V 2\vec{\imath}+\vec{k} 4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+3\vec{k} 3\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k}
VI 2\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k} 3\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k} -\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k}
  1. Identifique cuáles de las situaciones anteriores son compatibles con la condición de rigidez.
  2. Para las que sí lo son, identifique si se trata de un movimiento de traslación pura, rotación pura o helicoidal.
  3. Para las rotaciones y movimientos helicoidales, determine la posición del EIR o EIRMD.
  4. Para los movimientos compatibles, calcule la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética del sistema de masas.

2 Condición cinemática de rigidez

Para que una distribución de velocidades corresponda a un posible movimiento de un sólido rígido, debe satisfacer la condición cinemática de rigidez, que establece que para cada par de puntos la velocidad relativa debe ser ortogonal a la posición relativa

\vec{v}_{ik}\cdot\vec{r}_{ik}\qquad\qquad\forall i,k

o empleando las posiciones y velocidades medidas respecto a un sistema fijo

(\vec{v}_{k}-\vec{v}_i)\cdot(\vec{r}_k-\vec{r}_i)= 0

Para cada uno de los seis casos se cumple, midiendo las distancias en centímetros

\left.\begin{array}{rcl}\vec{r}_1& =& 10\vec{\jmath}\,\mathrm{cm} \\ \vec{r}_2& =& 10\vec{\imath}\,\mathrm{cm}\end{array}\right\}\quad\vec{r}_{12}=\vec{r}_2-\vec{r}_1=10(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}

y análogamente

\vec{r}_{13}=10(-\vec{\imath}+\vec{k})\,\mathrm{cm}\qquad\qquad \vec{r}_{23}=10(-\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{cm}

Comprobamos entonces la condición cinemática de rigidez para cada uno de los seis casos.

Así en el caso I se cumple:

\left.\begin{array}{rcl}\vec{v}_1& =& (2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+4\vec{k})\,\mathrm{cm}/\mathrm{s} \\ \vec{v}_2& =& (2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+4\vec{k})\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}\end{array}\right\}\vec{v}_{12}=\vec{v}_2-\vec{v}_1=\vec{0}\,\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_{12}\cdot\vec{r}_{12} = 0

Oprando igualmente para el resto de pares y para el resto de casos queda la siguiente tabla:

\vec{r}_{12} (cm) \vec{r}_{13} (cm) \vec{r}_{23} (cm)
\vec{r}_{12}=10(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}) \vec{r}_{13}=10(-\vec{\imath}+\vec{k}) \vec{r}_{12}=10(-\vec{\jmath}+\vec{k})
Caso \vec{v}_{12} (cm/s) \vec{v}_{13} (cm/s) \vec{v}_{23} (cm/s) \vec{v}_{12}\cdot\vec{r}_{12} (cm/s) \vec{v}_{13}\cdot\vec{r}_{13} (cm/s) \vec{v}_{23}\cdot\vec{r}_{23} (cm/s)
I \vec{0} -2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k} -2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k} 0\, 0\, 0\,
II \vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k} 3\vec{\jmath} -\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k} 0\, 0\, 0\,
III \vec{0} \vec{0} \vec{0} 0\, 0\, 0\,
IV -\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k} 2\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k} 3\vec{\imath}+\vec{\jmath}+3\vec{k} 0\, 0\, 20\,
V 2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k} \vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k} -\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k} 0\, 0\, 0\,
VI \vec{\imath}+\vec{\jmath} -3\vec{\imath} -4\vec{\imath}-\vec{\jmath} 0\, 30\, 40\,

Vemos que el caso IV y el caso VI no cumplen la condición cinemática de rigidez y no pueden ser movimientos rígidos.

3 Caso general

4 Clasificación de los movimientos

5 Ejes instantáneos

6 Propiedades del sistema de partículas

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Clasificaci%C3%B3n_de_movimientos_de_un_s%C3%B3lido_(versi%C3%B3n_2011)"

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