Problemas de herramientas matemáticas (GIE)

De Laplace

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Revisión de 23:30 3 oct 2011

Contenido

1 Arco capaz
2 Coseno y seno de una diferencia
3 Construcción de una base
4 Ejemplo de operaciones con dos vectores
5 Formulas vectoriales potencialmente incorrectas
6 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones
7 Cálculo de las componentes de un vector
8 Cálculo numérico de la derivada del seno

1 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ . Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

2 Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

3 Construcción de una base

Dados los vectores

$\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}$

Construya una base ortonormal dextrógira $\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}$ , tal que

El primer vector, $\vec{T}$ , vaya en la dirección y sentido de $\vec{v}$
El segundo, $\vec{N}$ , esté contenido en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de

$\vec{v}$ ) que el vector $\vec{a}$ .

El tercero, $\vec{B}$ , sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

4 Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

$\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}$

¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
Escriba $\vec{a}$ como suma de dos vectores, uno paralelo a $\vec{v}$ y otro ortogonal a él.

5 Formulas vectoriales potencialmente incorrectas

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de Ejemplos de cálculo de dimensiones, $R$ es una distancia y $\vec{r}$ el vector de posición; $t$ es el tiempo:

(a) $\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}$

(b) $\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}$

(c) $\frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}$

(d) $(\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}$

(e) $\frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}$

(f) $\frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}$

(g) $L = \vec{r}\times\vec{p}$

(h) $\frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)$

6 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido, no nulo, $\vec{A}$ y uno que se desea determinar, $\vec{X}$ . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por $\vec{A}$

$\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}$

Determine el valor de $\vec{X}$ . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar $\vec{X}$ ?

7 Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza $\vec{F}_1$ se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60\tss{o}. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra $\vec{F}_2 = -10\vec{\imath}-10\vec{\jmath}\ (\mathrm{N})$ , ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

8 Cálculo numérico de la derivada del seno

Se trata de calcular la derivada de $f(x)=\,\mathrm{sen}(x^\circ)$ para $x^\circ=0^\circ$ .

Exprese el cociente $Δ f / Δ x$ , cuando $x_1^\circ=0^\circ$ y $x_2^\circ=x^\circ$ .
Calcule numéricamente el cociente anterior para $x^\circ=1^\circ$ , $x^\circ=0.1^\circ$ , $x^\circ=0.01^\circ$ ,… hasta $x^\circ=(10^{-6})^\circ$ . ¿A cuanto tiende el límite?
Multiplique los resultados anteriores por 180. A la vista de los resultados, ¿cuanto vale la derivada de $\mathrm{sen}(x^\circ)$ en $x=0^\circ$ ?