Energía de interacción entre dos dipolos

De Laplace

Revisión de 15:04 14 jun 2008

1 Enunciado

Sobre una mesa horizontal se colocan dos brújulas (equivalentes a dipolos magnéticos) iguales, de forma que sus centros distan una cantidad a. Las dos brújulas pueden girar en el plano horizontal. Considerando que la interacción brújula-brújula es mucho mayor que la acción del campo magnético terrestre, ordene las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energía. ¿Cómo se orientarán las brújulas?

2 Solución

\begin{nota} Es posible demostrar que se trata de un mínimo absoluto, esto es, que no existe alguna posición no considerada que sea de menor energía. Sólo tenemos que buscar expresamente el mínimo de la función \[ W(\alpha,\beta)=-A(3\cos\alpha\,\cos\beta-\cos(\alpha-\beta))= %\]\[= -A(2\cos\alpha\,\cos\beta-\sen\alpha\,\sen\beta) \] (hemos desarrollado el coseno de una diferencia). Derivando respecto a las variables queda \[ 0=\frac{\partial{}W}{\partial{}\alpha}=A(2\sen\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\sen\beta) \] \[ 0=\frac{\partial{}W}{\partial{}\beta}=A(2\cos\alpha\,\sen\beta+\sen\alpha\,\cos\beta) \] Sumando y restando se llega a que para que estas dos funciones se anulen, debe verificarse \[ \sen\alpha\,\cos\beta=0\qquad \mbox{y} \qquad \sen\beta\,\cos\alpha=0 \] que, a su vez, implica que \[ \sen\alpha=0\qquad \mbox{y}\qquad \sen\beta=0 \] o que \[ \cos\alpha=0\qquad \mbox{y}\qquad \cos\beta=0 \] En el primer caso tenemos las posibilidades \[ \alpha=0\quad\beta=0 \qquad \mbox{ó}\qquad \alpha=0\quad \beta=\pi \] u otras equivalentes. Estas son las posiciones (b) y (c) del enunciado.

En el caso de que se anulen los cosenos, resulta \[ \alpha=\beta=\frac{\pi}{2}\qquad \mbox{ó}\qquad \alpha=-\beta=\frac{\pi}{2} \] que son las posiciones (a) y (d).

Así pues, los cuatro casos del enunciado son los únicos posibles puntos de equilibrio. Calculando sus valores, como hemos hecho, o estudiando la segunda derivada, puede determinarse que la posición (b) es un mínimo absoluto, la (c) un máximo absoluto y la (a) y la (d) son puntos de silla. Este carácter también puede determinarse gráficamente, a partir de la representación tridimensional o de curvas de nivel. \bc \includegraphics{b1304.eps}\hspace*{2cm} \includegraphics{bol1314.eps} \ec \end{nota}