1.6. Teoremas del seno y del coseno

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 19:12 22 sep 2010

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)$

y del seno

$\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}$

en un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ y ángulos opuestos $α$ , $β$ y $γ$ .

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial

$\vec{a}= \vec{b} + \vec{c}$

o, equivalentemente

$\vec{a}- \vec{b} = \vec{c}$

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

$(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2$

Desarrollando el producto escalar

$\vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=c^2$

El ángulo que forman los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es $γ$ por lo que finalmente obtenemos

$a^2 -2ab\,\cos\gamma + b^2 = c^2$

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.

@@ Línea 15: / Línea 15: @@
 Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial
-<center><math>\vec{a}+\vec{b} = \vec{c}</math></center>
+<center><math>\vec{a}= \vec{b} + \vec{c}</math></center>
-Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma
+o, equivalentemente
-<center><math>(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2</math></center>
+<center><math>\vec{a}- \vec{b} = \vec{c}</math></center>
-Desarrollando el producto escalar
+Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma
-<center><math>\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=c^2</math></center>
+<center><math>(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2</math></center>
-El ángulo que forman los vectores <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math> es el ''suplementario'' de <math>\gamma</math>, <math>\pi-\gamma</math>, que verifica
+Desarrollando el producto escalar
-<center><math>\cos(\pi-\gamma) = -\cos\gamma\,</math></center>
+<center><math>\vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=c^2</math></center>
-por lo que finalmente obtenemos
+El ángulo que forman los vectores <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math> es <math>\gamma</math> por lo que finalmente obtenemos
 <center><math>a^2 -2ab\,\cos\gamma + b^2 = c^2</math></center>