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Pulso de corriente inducida

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Corriente inducida)
(→Corriente inducida)
Línea 32: Línea 32:
La corriente inducida la obtenemos por aplicación de la ley de Faraday
La corriente inducida la obtenemos por aplicación de la ley de Faraday
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<center><math>I_2=-\frac{1}{R_2}\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrmn{d}t}</math></center>
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El flujo magnético lo calculamos a partir del campo producido por el hilo
El flujo magnético lo calculamos a partir del campo producido por el hilo
Línea 40: Línea 40:
Puesto que la espira es muy pequeña, podemos suponer que <math>\rho = b</math> para todos sus puntos. Asimismo, en la posición de la espira, el campo magnético apunta en la dirección hacia adentro del plano, que es la marcada por <math>\mathbf{u}_y</math>. Por ello
Puesto que la espira es muy pequeña, podemos suponer que <math>\rho = b</math> para todos sus puntos. Asimismo, en la posición de la espira, el campo magnético apunta en la dirección hacia adentro del plano, que es la marcada por <math>\mathbf{u}_y</math>. Por ello
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<center><math>\mathbf{B}_1\simeq\frac{\mu_0I_1}{2\pib}\mathbf{u}_y</math></center>
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<center><math>\mathbf{B}_1\simeq\frac{\mu_0I_1}{2\pi b}\mathbf{u}_y</math></center>
Tomando un sentido de recorrido de la espira tal que la normal a la superficie es también <math>\mathbf{u}_y</math> nos queda
Tomando un sentido de recorrido de la espira tal que la normal a la superficie es también <math>\mathbf{u}_y</math> nos queda

Revisión de 14:49 4 sep 2010

Contenido

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1 Enunciado

Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica R1 circula una corriente variable en el tiempo, tal que su valor es

I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}
  1. Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre t\to -\infty y t\to\infty.
  2. Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.
  3. Junto al cable y coplanaria con él se encuentra una pequeña espira cuadrada de lado a con su centro situado a una distancia b (b\gg a) del hilo. Esta espira posee resistencia R2 y autoinducción despreciable. Calcule la corriente inducida en esta espira como función del tiempo.
  4. Halle la carga que pasa por un punto de la espira entre t\to -\infty y t\to\infty.
  5. Calcule la energía disipada en la espira en el mismo tiempo.

2 Carga que recorre el hilo

La carga que pasa por una sección del hilo en un tiempo dt es

\mathrm{d}Q=I(t)\,\mathrm{d}t

Por lo que la carga total que pasa vale

Q= \int_{-\infty}^\infty I(t)\,\mathrm{d}t

En este caso, tenemos que la corriente es nula salvo en el intervalo 0 < t < T por lo que el cálculo se reduce a

Q = \int_0^T I(t)\,\mathrm{d}t = \frac{I_0}{T^2}\int_0^T (tT-t^2)\mathrm{d}t = \frac{I_0}{T^2}\left(\frac{T^3}{2}-\frac{T^3}{3}\right) = \frac{I_0T}{6}

3 Energía disipada en el hilo

La energía disipada se calcula de forma análoga a partir de la potencia

W_d = \int_0^T I^2R_1\,\mathrm{d}t = \frac{I_0^2R_1}{T^4}\int_0^T (tT-t^2)^2\mathrm{d}t =\,\,\frac{I_0^2R_1}{T^4}\int_0^T (t^2T^2-2t^3T+t^4)\mathrm{d}t=\frac{I_0^2R_1}{T^4}\left(\frac{T^5}{3}-2\frac{T^5}{4}+\frac{T^5}{5}\right) = \frac{I_0^2TR_1}{30}

4 Corriente inducida

La corriente inducida la obtenemos por aplicación de la ley de Faraday

I_2=-\frac{1}{R_2}\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}

El flujo magnético lo calculamos a partir del campo producido por el hilo

\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I_1}{2\pi\rho}\mathbf{u}_\varphi

Puesto que la espira es muy pequeña, podemos suponer que ρ = b para todos sus puntos. Asimismo, en la posición de la espira, el campo magnético apunta en la dirección hacia adentro del plano, que es la marcada por \mathbf{u}_y. Por ello

\mathbf{B}_1\simeq\frac{\mu_0I_1}{2\pi b}\mathbf{u}_y

Tomando un sentido de recorrido de la espira tal que la normal a la superficie es también \mathbf{u}_y nos queda

\Phi_m = \int_{S_2}\mathbf{B}_1\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_2 = \frac{\mu_0I_1a^2}{2\pi b}

Esta función depende del tiempo porque lo hace la corriente que pasa por el hilo, por ello la corriente inducida es

I_2 = -\frac{\mu_0a^2}{2\pi b^2}\,\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}

Sustituyendo la expresión de I1

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): I_2 = \begin{cases}{\displaystyle -\frac{\mu_0a^2I_0(T-2t)}{2\pi b^2T^2} & 0 < t < T \\ & \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}

5 Carga que recorre la espira

6 Energía disipada en la espira

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Pulso_de_corriente_inducida"

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