Medio polarizado entre dos placas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 19:43 8 may 2010

1 Enunciado

Entre dos placas metálicas planas y paralelas, de sección $S$ y separadas una distancia $a$ , se encuentra un dieléctrico que presenta polarización remanente, de forma que en él

$\mathbf{P} = \mathbf{P}_0$

siendo $\mathbf{P}_0$ un vector uniforme, en la dirección perpendicular a las placas. El dieléctrico es perfectamente aislante.

Inicialmente las placas están descargadas. Si se conectan mediante un voltímetro, ¿cuánto medirá éste?
Suponga que las dos placas se conectan mediante un hilo conductor, ¿cuánta carga se almacena en cada placa metálica?
Calcule cómo cambian los resultados si la polarización del dieléctrico no es constante, sino que depende del campo como

$\mathbf{P} = \mathbf{P}_0 +\varepsilon\chi_e\mathbf{E}$

2 Diferencia de potencial inicial

El voltímetro actúa como un circuito abierto, de forma que a todos los efectos es como si las placas siguieran estando desconectadas la una de la otra.

Puesto que las placas están descargadas, la única carga en este sistema es la de polarización, debida al dieléctrico. Por ser su polarización uniforme, no hay densidad volumétrica de carga

$\rho_p = -\nabla\cdot\mathbf{P}_0=0$

Sí existe una densidad de carga de polarización en las superficies del dieléctrico, contiguas a las placas.

En la cara superior (aquella a la cual apunta la polarización)

$\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}]=-\mathbf{u}_z\cdot(\mathbf{0}-P_0\mathbf{u}_z)=P_0$

En la cara inferior (desde la cual apunta la polarización)

$\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}]=-\mathbf{u}_z\cdot(P_0\mathbf{u}_z-\mathbf{0})=-P_0$

Nótese que cuando se calcula la densidad superficial de carga de polarización usando el salto en la polarización, no es necesario tomar la normal exterior.

Tenemos entonces que el sistema equivale a dos superficies cargadas, con densidades $\pm P_0$ . Si despreciamos los efectos de borde, las superficies cargadas se pueden tratar como si fueran infinitamente extensas. En ese caso, tal como se ve en el problema del campo debido a dos planos paralelos, el campo que se produce es

$\mathbf{E}=-\frac{P_0}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_z\qquad (0<z<a)$

en el espacio entre las placas y nulo en el resto del espacio.

Puesto que este campo es uniforme, la diferencia de potencial es inmediata

$V_0-V_a = \int_0^a E\,\mathrm{d}z = -\frac{P_0a}{\varepsilon_0}$

Puesto que el campo va en el sentido opuesto a la polarización, la placa inferior se encuentra a un potencial más bajo que la superior.

3 Carga final

Una vez que se cortocircuitan la placas se produce una transferencia de carga entre ellas, impulsadas por el campo eléctrico debido a la polarización. El proceso se detiene cuando se alcanza el equilibrio electrostático, en el cual el campo debido a las cargas libres acumuladas en las placas anula completamente al campo debido a la polarización. Dicho de otra forma, las cargas son impulsadas por una diferencia de potencial y el trasvase de carga se detiene cuando esta diferencia de potencial se anula.

Así pues, en el equilibrio el campo entre las placas es

$\mathbf{E} = \mathbf{0}\qquad (0<z<a)$

Por tanto, la densidad de carga total, suma de las libres más las de polarización, en la interfaz entre el dieléctrico y una placa debe ser nula

$\sigma_p+\sigma_l=\sigma_s=\varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=0$

@@ Línea 42: / Línea 42: @@
 Puesto que el campo va en el sentido opuesto a la polarización, la placa inferior se encuentra a un potencial más bajo que la superior.
+==Carga final==
+Una vez que se cortocircuitan la placas se produce una transferencia de carga entre ellas, impulsadas por el campo eléctrico debido a la polarización. El proceso se detiene cuando se alcanza el equilibrio electrostático, en el cual el campo debido a las cargas libres acumuladas en las placas anula completamente al campo debido a la polarización. Dicho de otra forma, las cargas son impulsadas por una diferencia de potencial y el trasvase de carga se detiene cuando esta diferencia de potencial se anula.
+Así pues, en el equilibrio el campo entre las placas es
+<center><math>\mathbf{E} = \mathbf{0}\qquad (0<z<a)</math></center>
+Por tanto, la densidad de carga total, suma de las libres más las de polarización, en la interfaz entre el dieléctrico y una placa debe ser nula
+<center><math>\sigma_p+\sigma_l=\sigma_s=\varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=0</math></center>
 [[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]]

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