Medio polarizado entre dos placas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Diferencia de potencial inicial
3 Carga final
4 Solución usando el vector desplazamiento
- 4.1 Diferencia de potencial
5 Carga en las placas
6 Polarización dependiente del campo
- 6.1 Diferencia de potencial
- 6.2 Carga final

1 Enunciado

Entre dos placas metálicas planas y paralelas, de sección $S$ y separadas una distancia $a$ , se encuentra un dieléctrico que presenta polarización remanente, de forma que en él

$\mathbf{P} = \mathbf{P}_0$

siendo $\mathbf{P}_0$ un vector uniforme, en la dirección perpendicular a las placas. El dieléctrico es perfectamente aislante.

Inicialmente las placas están descargadas. Si se conectan mediante un voltímetro, ¿cuánto medirá éste?
Suponga que las dos placas se conectan mediante un hilo conductor, ¿cuánta carga se almacena en cada placa metálica?
Calcule cómo cambian los resultados si la polarización del dieléctrico no es constante, sino que depende del campo como

$\mathbf{P} = \mathbf{P}_0 +\varepsilon\chi_e\mathbf{E}$

2 Diferencia de potencial inicial

El voltímetro actúa como un circuito abierto, de forma que a todos los efectos es como si las placas siguieran estando desconectadas la una de la otra.

Puesto que las placas están descargadas, la única carga en este sistema es la de polarización, debida al dieléctrico. Por ser su polarización uniforme, no hay densidad volumétrica de carga

$\rho_p = -\nabla\cdot\mathbf{P}_0=0$

Sí existe una densidad de carga de polarización en las superficies del dieléctrico, contiguas a las placas.

En la cara superior (aquella a la cual apunta la polarización)

$\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}]=-\mathbf{u}_z\cdot(\mathbf{0}-P_0\mathbf{u}_z)=P_0$

En la cara inferior (desde la cual apunta la polarización)

$\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}]=-\mathbf{u}_z\cdot(P_0\mathbf{u}_z-\mathbf{0})=-P_0$

Nótese que cuando se calcula la densidad superficial de carga de polarización usando el salto en la polarización, no es necesario tomar la normal exterior.

Tenemos entonces que el sistema equivale a dos superficies cargadas, con densidades $\pm P_0$ . Si despreciamos los efectos de borde, las superficies cargadas se pueden tratar como si fueran infinitamente extensas. En ese caso, tal como se ve en el problema del campo debido a dos planos paralelos, el campo que se produce es

$\mathbf{E}=-\frac{P_0}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_z\qquad (0<z<a)$

en el espacio entre las placas y nulo en el resto del espacio.

Puesto que este campo es uniforme, la diferencia de potencial es inmediata

$V_0-V_a = \int_0^a E\,\mathrm{d}z = -\frac{P_0a}{\varepsilon_0}$

Puesto que el campo va en el sentido opuesto a la polarización, la placa inferior se encuentra a un potencial más bajo que la superior.

3 Carga final

Una vez que se cortocircuitan la placas se produce una transferencia de carga entre ellas, impulsadas por el campo eléctrico debido a la polarización. El proceso se detiene cuando se alcanza el equilibrio electrostático, en el cual el campo debido a las cargas libres acumuladas en las placas anula completamente al campo debido a la polarización. Dicho de otra forma, las cargas son impulsadas por una diferencia de potencial y el trasvase de carga se detiene cuando esta diferencia de potencial se anula.

Así pues, en el equilibrio el campo entre las placas es

$\mathbf{E} = \mathbf{0}\qquad (0<z<a)$

Por tanto, la densidad de carga total, suma de las libres más las de polarización, en la interfaz entre el dieléctrico y una placa debe ser nula

$\sigma_p+\sigma_l=\sigma_s=\varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=0$

y por tanto, en la placa superior habrá una densidad de carga libre

$\sigma_l = -\sigma_p = -P_0\,\qquad (z=a)$

y una carga libre total

$Q_l=\int \sigma_l\,\mathrm{d}S=-P_0S\qquad (z=a)$

En la placa inferior habrá una carga igual, pero de signo contrario,

$\sigma_l = -\sigma_p = +P_0\,\qquad (z=0)$ $Q_l=\int \sigma_l\,\mathrm{d}S=+P_0S\qquad (z=0)$

4 Solución usando el vector desplazamiento

Los dos primeros apartados se pueden hacer de forma sencilla con ayuda del vector desplazamiento.

4.1 Diferencia de potencial

En el primer caso, se cumple que no hay carga libre en ningún punto del sistema y que en el espacio entre las placas el vector desplazamiento es irrotacional (por serlo el campo eléctrico y la polarización). Por tanto, el vector desplzamiento carece tanto de fuentes escalares como de fuentes vectoriales

$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l=0$ $\nabla\times\mathbf{D}=\nabla\times\mathbf{P}_0=\mathbf{0}$ $\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\sigma_l=0$ $\mathbf{n}\times[\mathbf{D}]=\mathbf{n}\times[\mathbf{P}]=\mathbf{0}\,$

Puesto que carece de fuentes, el vector desplazamiento es nulo

$\mathbf{D}=\mathbf{0}\qquad (0<z<a)$

y de aquí obtenemos el campo eléctrico y la diferencia de potencial

$\mathbf{0}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}_0\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=-\frac{\mathbf{P}_0}{\varepsilon_0}=-\frac{P_0}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_z$ $\Rightarrow$ $V_0-V_a=-\frac{P_0a}{\varepsilon_0}$

5 Carga en las placas

Una vez alcanzado el equilibrio electrostático, el campo eléctrico se anula y por tanto

$\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}+\mathbf{P}=\mathbf{P}_0\,$

y de aquí obtenemos la densidad de carga libre en la placa superior

$\sigma_l = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}] = -P_0\qquad(z=a)$ $Q_l=\oint \mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=-P_0S\qquad(z=a)$

y análogamente en la placa inferior.

6 Polarización dependiente del campo

Cuando la polarización depende del campo eléctrico en la forma

$\mathbf{P}=\mathbf{P}_0+\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}$

los razonamientos son similar.

6.1 Diferencia de potencial

Antes de la conexión es cierto, como en el primer caso, que no hay carga libre en las placas y, por tanto, como entonces, el vector desplazamiento es cero

$\mathbf{0}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\varepsilon_0(1+\chi_e)+\mathbf{P}_0$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=-\frac{P_0}{\varepsilon_0(1+\chi_e)}\mathbf{u}_z$

y obtenemos la diferencia de potencial

$V_0-V_a = \int_0^a E\,\mathrm{d}z=-\frac{P_0a}{\varepsilon_0(1+\chi_e)}$

6.2 Carga final

Una vez alcanzado el equilibrio, vuelve a ser nulo el campo eléctrico, por lo que

$\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\mathbf{P}_0\,$ $\Rightarrow$ $Q_l = \oint \mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=-P_0S\qquad(z=a)$

esto es, resulta una carga igual que en el primer caso. En la placa inferior habrá una carga igual y de signo opuesto.

Medio polarizado entre dos placas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Diferencia de potencial inicial

3 Carga final

4 Solución usando el vector desplazamiento

4.1 Diferencia de potencial

5 Carga en las placas

6 Polarización dependiente del campo

6.1 Diferencia de potencial

6.2 Carga final

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