Partícula en un tubo con muelle
De Laplace
(Nueva página: ==Enunciado== Un tubo delgado, hueco y de masa despreciable, está situado en el plano horizontal <math>OXY</math> pudiendo rotar libremente y sin rozamiento alrededor del eje fijo (e...) |
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| + | <center><math>m\mathbf{a}^P_{20} = \mathbf{F}-m\mathbf{a}^O_{01}-m\vec{\alpha}_{01}\times\mathbf{r}-m(\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\mathbf{r}))-2m\vec{\omega}_{01}\times\mathbf{v}^P_{20}</math></center> | ||
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===En el sistema fijo=== | ===En el sistema fijo=== | ||
La segunda ley de Newton nos dice que | La segunda ley de Newton nos dice que | ||
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<center><math>\mathbf{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\mathbf{u}_\rho+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\mathbf{u}_\theta</math></center> | <center><math>\mathbf{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\mathbf{u}_\rho+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\mathbf{u}_\theta</math></center> | ||
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Revisión de 21:05 22 feb 2010
Contenido |
1 Enunciado
Un tubo delgado, hueco y de masa despreciable, está situado en el plano horizontal OXY pudiendo rotar libremente y sin rozamiento alrededor del eje fijo (eje OZ) que pasa por su punto medio (punto O). En el interior del tubo se halla una partícula P, de masa m, que es atraída hacia el punto O con una fuerza directamente proporcional a la distancia entre P y O (con constante de proporcionalidad k) Suponiendo que todos los contactos son lisos, y utilizando las coordenadas polares \rho y \theta, así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, se pide:
- Escribir las ecuaciones dinámicas de la partíıcula (Segunda Ley de Newton proyectada en las direcciones radial y acimutal) en el sistema inercial OXY y en el sistema no inercial solidario con el tubo.
- Se hace rotar el tubo con velocidad angular constante ω0. Determina que inecuación debe verificar \omega_0 respecto a m y k para que el movimiento de la partícula respecto al tubo pueda ser armónico simple.
2 Ecuaciones de movimiento
2.1 En el sistema móvil
En un sistema que gira con la barra, la partícula realiza un movimiento unidimensional, sometida a la acción del muelle y a las fuerzas de inercia. En forma vectorial tenemos, si la barra es el sólido “0” y la partícula es el sólido 2
2.2 En el sistema fijo
La segunda ley de Newton nos dice que
siendo 
la resultante de las fuerzas sobre la partícula. Escribiendo la aceleración en coordenadas polares
nos queda
\
