Flujo del campo eléctrico de una carga
De Laplace
(→En cilíndricas) |
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La primera integral produce un factor <math>2\pi</math>, mientras que la segunda es casi inmediata | La primera integral produce un factor <math>2\pi</math>, mientras que la segunda es casi inmediata | ||
| - | <center><math>\Phi_\mathrm{e} = \frac{qh}{2\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{\sqrt{\rho^2+h^2}\right|_0^R = \frac{qh}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{\sqrt{R^2+h^2}}\right) = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{1-\cos\theta_0}{2}</math></center> | + | <center><math>\Phi_\mathrm{e} = \frac{qh}{2\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{\sqrt{\rho^2+h^2}}\right|_0^R = \frac{qh}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{\sqrt{R^2+h^2}}\right) = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{1-\cos\theta_0}{2}</math></center> |
donde | donde | ||
Revisión de 10:31 9 ene 2010
Contenido |
1 Enunciado
Halle el flujo del campo eléctrico debido a una carga puntual q a través de un disco cuyo eje pasa por el punto donde se encuentra la carga.
El disco tiene radio R y la distancia de la carga al plano del disco es h.
- Utilizando coordenadas cilíndricas
- Usando coordenadas esféricas (Sugerencia: En lugar del disco emplee otra superficie que abarque el mismo ángulo sólido).
2 Introducción
El flujo del campo eléctrico de una carga puntual (sobre la cual, por comodidad, situamos el origen de coordenadas) es
La integral que aparece en el último miembro no es más que el ángulo sólido, Ω, abarcado por la superficie, vista desde el origen de coordenadas. Por tanto
El problema se reduce, por tanto, a determinar el ángulo sólido con el que el disco se ve desde la carga.
3 En cilíndricas
Sitaumos, según hemos dicho, el origen de coordenadas sobre la carga puntual, y el eje Z como el eje del disco. De esta forma, el disco queda parametrizado como
![\rho\in[0,R]](/wiki/images/math/5/a/2/5a2c43a0583cd93d6b8f87dc84b97962.png)
El vector de posición de los puntos del disco y el vector diferencial de superficie valen
{ 
Sustituimos en la expresión del flujo
La primera integral produce un factor 2π, mientras que la segunda es casi inmediata
donde
siendo θ0 el ángulo con el que se ve el borde del disco desde el origen de coordenadas.
