Sonar de un murciélago

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:08 4 may 2009

1 Enunciado

Un murciélago que vuela hacia una pared emite un ultrasonido de frecuencia $f 0$ . Recibe el eco un tiempo $Δ t$ más tarde y con una frecuencia $f 1$ . Determine la velocidad con la que se mueve el murciélago y la distancia a la que se encuentra de la pared en el momento de recibir el eco. (Dato: c = 343 m/s)

2 Solución

Consideramos tres instantes de tiempo como se indica en la figura. En $t = 0$ el murciélago está a una distancia $d 0$ de la pared y emite el ultrasonido. En $t = Δ t 1$ el ultrasonido llega a la pared y rebota. En ese momento el murciélago está a la distancia $d 1$ de la pared. Finalmente, el ultrasonido emitido por la pared llega al murciélago en el instante $Δ t$ , estando el animal a la distancia $d 2$ del muro.

La velocidad se determina a partir del corrimiento Doppler de las frecuencias. Cuando el murciélago recibe el ultrasonido, la fuente es la pared, que está en reposo, y el receptor es él mismo, que se mueve hacia la pared, con velocidad $v m$ . Como se mueve hacia la fuente la velocidad $v m$ se considera positiva. La expresión del efecto Doppler es

$f_1=f_0\frac{c+v_m}{c}$

Y la velocidad del murciélago es

$v_m=\frac{f_1-f_0}{f_0}c=\frac{\Delta f}{f_0}c$

Durante el tiempo $Δ t$ el murciélago ha seguido avanzando hacia la pared con velocidad $v m$ . Por tanto, cuando recibe el ultrasonido la distancia $d 2$ es

$d 2 = d 0 - v m Δ t$

Tenemos que calcular $d 0$ . Para ello vemos que los intervalos de tiempo $Δ t 1$ y $Δ t 2$ valen

$\begin{array}{lccr} \displaystyle \Delta t_1 = \frac{d_0}{c},&&\displaystyle\Delta t_2=\frac{d_2}{c}=\frac{d_0-v_m\Delta t}{c} \end{array}$