Sonar de un murciélago

De Laplace

1 Enunciado

Un murciélago que vuela hacia una pared emite un ultrasonido de frecuencia $f 0$ . Recibe el eco un tiempo $Δ t$ más tarde y con una frecuencia $f 1$ . Determine la velocidad con la que se mueve el murciélago y la distancia a la que se encuentra de la pared en el momento de recibir el eco. (Dato: c = 343 m/s)

2 Solución

Vamos a calcular en primer lugar la velocidad del murciélago utlizando el corrimiento de frecuencias debido al efecto Doppler. El murciélago emite un sonido con frecuencia $f 0$ . Esta onda llega a la pared, donde rebota y es emitida hacia el murciélago con una frecuencia $f p$ . Finalmente este sonido llega al murciélago con una frecuencia $f 1$ .

En el primer proceso la pared actúa como receptor y el murciélago como emisor. Así pues la frecuencia que percibe la pared es

$f_p = \frac{c}{c-v_m}f_0$

La velocidad $v m$ se considera positiva pues el murciélago se acerca a la pared.

El sonido proveniente de la pared tiene frecuencia $f p$ . Al llegar al murciélago, éste es el receptor y la pared es el emisor. Así pues la frecuencia que percibe el animal es

$f_1=f_p\frac{c+v_m}{c}=f_0\frac{c}{c-v_m}\frac{c+v_m}{c}=f_0\frac{c+v_m}{c-v_m}$

Despejando obtenemos la velocidad del murciélago en función de las frecuencias y la velocidad del sonido en el aire

$v_m=c\frac{f_1-f_0}{f_1+f_0}$

La velocidad del murciélago siempre será mucho menor que la del sonido en el aire. Entonces las frecuencias $f 0$ y $f 1$ son muy parecidas. Se cumple por tanto, $f_1-f_0=\Delta f\ll f_0$ . Obtenemos así una expresión más sencilla de la velocidad del murciélago

$v_m=c\frac{\Delta f}{2f_0+\Delta f}\simeq\frac{\Delta f}{2f_0}c$

Vamos a calcular ahora la distancia a la que estaba el murciélago de la pared cuando emitió el sonido. Consideramos tres instantes de tiempo como se indica en la figura. En $t = 0$ el murciélago está a una distancia $d 0$ de la pared y emite el ultrasonido. En $t = Δ t 1$ el ultrasonido llega a la pared y rebota. En ese momento el murciélago está a la distancia $d 1$ de la pared. Finalmente, el ultrasonido emitido por la pared llega al murciélago en el instante $Δ t$ , estando el animal a la distancia $d 2$ del muro.

Durante el tiempo $Δ t$ el murciélago ha seguido avanzando hacia la pared con velocidad $v m$ . Por tanto, cuando recibe el ultrasonido la distancia $d 2$ es

$d_2=d_0-v_m\Delta t\,$

Tenemos que calcular $d 2$ . Para ello vemos que los intervalos de tiempo $Δ t 1$ y $Δ t 2$ valen

$\begin{array}{lccr} \displaystyle \Delta t_1 = \frac{d_0}{c}=\frac{d_2+v_m\,\Delta t}{c},&&\displaystyle\Delta t_2=\frac{d_2}{c}=\frac{d_2}{c} \end{array}$

Sumando los dos tenemos

$\Delta t_1+\Delta t_2=\Delta t=\frac{d_2+v_m\,\Delta t}{c}+\frac{d_2}{c}$

Despejando $d 2$ queda

$d_2=\frac{(c-v_m) \Delta t}{2}$

Observemos que si el murciélago no se mueve, tenemos $v m = 0$ y por tanto $d 2 = c Δ t / 2$ .

Sustituyendo aquí $v m$ , calculada anteriormente

$c-v_m = \left(1-\frac{f_1-f_0}{f_1+f_0}\right)c = \frac{2f_0}{f_1+f_0}c$ $\Rightarrow$ $d_2 = \frac{f_0 c \Delta t}{f_1+f_0}$

Si lo que tenemos es el corrimiento en la frecuencia y este es relativamente pequeño

$c-v_m\simeq c - \frac{\Delta f}{2f_0}c$ $\Rightarrow$ $d_2 \simeq \frac{c\Delta t}{2}-\frac{c \Delta t\Delta f}{4 f_0}$

De nuevo podemos comprobar que si $Δ f = 0$ , se tiene $d 2 = c Δ t / 2$ , como es lógico.

Los murciélagos se desplazan con velocidades alrededor de 5 m/s. Podemos estimar el desplazamiento de frecuencias que produce esta velocidad. De la expresión que nos da la velocidad del murciélago obtenemos

$\frac{\Delta f}{f_0}=\frac{2v_m}{c}\frac{1}{1-\displaystyle\frac{v_m}{c}}$