Imán cilíndrico

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 18:27 31 mar 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Imán corto
- 2.1 Empleando las corrientes
  - 2.1.1 En el centro del imán
  - 2.1.2 Justo encima del imán
- 2.2 Empleando las cargas
3 Imán largo
- 3.1 Empleando las corrientes
- 3.2 Empleando las cargas
4 Imán de longitud arbitraria
- 4.1 A partir de las corrientes
- 4.2 A partir de las cargas

1 Enunciado

Se construye un imán cilíndrico de radio $R = 1cm$ y longitud $L$ , con una magnetización uniforme y paralela a su eje $M 0 = 10 5 A / m$ .

Determine aproximadamente los campos y cuando , en el centro del imán y en un punto ligeramente por encima de su base superior.
1. A partir de las corrientes de magnetización.
2. A partir de las cargas magnéticas.
Estime $\mathbf{H}$ y $\mathbf{B}$ cuando $L=1\,\mathrm{m}$ en los mismos puntos y con los mismos métodos
Determine exactamente $\mathbf{H}$ y $\mathbf{B}$ en todos los puntos del eje del imán, tanto dentro como fuera de él. Compare con los resultados anteriores

2 Imán corto

Cuando el imán se reduce a un disco, porque $L\ll R$ , como ocurre en este caso (R = 1 cm, L = 1 mm), podemos calcular el campo de dos formas: empleando las corrientes de magnetización, o empleando las cargas magnéticas

2.1 Empleando las corrientes

Por ser la imanación $\mathbf{M}$ uniforme, no hay corrientes de volumen, pero sí superficiales. Puesto que la magnetización es perpendicular a las bases del disco, las únicas corrientes de imanación están en la cara lateral y valen

$\mathbf{K}_m=\mathbf{M}\times\mathbf{n}=M_0\mathbf{u}_{z}\times\mathbf{u}_{\rho}=M_0\mathbf{u}_{\varphi}$

Así pues, el disco imanado es aproximadamente equivalente a una espira de corriente por la que circula una intensidad

$I=M_0 L\,$

2.1.1 En el centro del imán

A partir de esta equivalencia, es inmediato conocer el campo $\mathbf{B}$ en el centro del imán, pues el campo de una espira circular es un problema clásico con solución

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{2R}\mathbf{u}_{z}$

y en nuestro caso resulta un campo

$\mathbf{B}\simeq \frac{\mu_0 M_0L}{2R}\mathbf{u}_{z}$

Una vez conocido el valor de $\mathbf{B}$ , el cálculo de $\mathbf{H}$ es inmediato

$\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}=-M_0\left(1-\frac{L}{2R}\right)\mathbf{u}_{z}$

Nótese que, de los dos términos del paréntesis, el segundo representa una corrección al primero, pues $L\ll R$ .

Los valores numéricos de estos dos campos en esta aproximación son (en el Sistema Internacional)

$B \simeq 5\times 10^{3}\mu_0\simeq 6.28 \times 10^{-3}\,\mathrm{T}=6.28\,\mathrm{mT}$ $H\simeq -10^5\left(1-0.05\right)=-9.5\times 10^{4}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$

2.1.2 Justo encima del imán

Para un punto ligeramente por encima del disco, el campo $\mathbf{B}$ es el mismo pues la espira equivalente se puede considerar prácticamente como plana, pero el campo $\mathbf{H}$ cambia pues en el exterior del imán la magnetización es nula (el vacío no se magnetiza). Esto da

$\mathbf{B}\simeq \frac{\mu_0 M_0 L}{2R}\mathbf{u}_{z}$ $\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}=\frac{M_0 L}{2R}\mathbf{u}_{z}$

2.2 Empleando las cargas

Este mismo sistema puede modelarse considerando densidades de carga magnética equivalentes. De nuevo, por ser la magnetización uniforme, no hay densidad volumétrica, pero sí superficial, dada por la expresión

$\sigma_m=\mathbf{M}{\cdot}\mathbf{n}$

En este caso, $\mathbf{M}$ es tangente a la cara lateral y sobre la misma no hay densidades de carga, pero sí sobre las bases. Sobre la cara superior será

$\sigma_m=\mathbf{M}{\cdot}\mathbf{u}_{z}=M_0$

y, sobre la inferior

$\sigma_m=\mathbf{M}{\cdot}(-\mathbf{u}_{z})=-M_0$

esto es, el imán es equivalente a dos discos de carga de signos opuestos y muy próximos entre sí. Esto es el análogo magnético de lo que en electrostática es un condensador.

Sabemos que el campo eléctrico en un condensador de placas planas y paralelas, despreciando los efectos de borde, con densidad de carga $σ s$ en la cara positiva, es

$\mathbf{E}=-\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z}$

En nuestro caso, las ecuaciones para $\mathbf{H}$ son las mismas que para $\mathbf{E}$ , salvo que no aparece $\varepsilon_0$ . Esto nos da para el campo $\mathbf{H}$

$\mathbf{H}=-\sigma_m\mathbf{u}_{z}=-M_0\mathbf{u}_{z}$

y, a partir de $\mathbf{H}$ , se obtiene $\mathbf{B}$

$\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})=\mathbf{0}$

El valor numérico es inmediato

$H\simeq -10^{5}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$ $B\simeq 0$

Vemos que, en esta aproximación resulta un campo magnético nulo en el interior, mientras que antes resultaba un valor distinto de cero. Si comparamos las dos expresiones vemos que en este caso se ha despreciado la primera corrección, proporcional a $L / R$ que allí sí aparecía.

En cuanto a un punto en el exterior, sabemos que fuera de un condensador el campo es nulo (aproximadamente), por lo que

$\mathbf{H}\simeq \mathbf{0}$ $\mathbf{B}\simeq \mathbf{0}$

3 Imán largo

Cuando el imán es muy largo, podemos, de nuevo, obtener soluciones aproximadas por los dos modelos

3.1 Empleando las corrientes

Como antes, $\mathbf{J}_m=0$ y la corriente superficial es

$\mathbf{K}_m=\mathbf{M}\times\mathbf{n}=M_0\mathbf{u}_{\varphi}$

pero ahora el imán no se puede sustituir por una espira, sino por un solenoide. Si el imán es muy largo (esto es, si $L\gg R$ ), podemos emplear el campo de un solenoide de longitud infinita, que es

$\mathbf{B}= \mu_0 K_m \mathbf{u}_{z}=\mu_0 M_0\mathbf{u}_{z}$ $B\simeq 4\pi \times 10^{-2}\,\mathrm{T}=0.126\,\mathrm{T}$

y de aquí resulta para $\mathbf{H}$

$\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}=\mathbf{0}$

Esto en lo que se refiere a un punto en el centro del imán. Para un punto justo por encima de la barra tenemos un problema en esta aproximación, y es que en un solenoide infinito no existe tal punto. Por tanto, carecemos de las expresiones para $\mathbf{B}$ y $\mathbf{H}$ en este punto.

Podríamos resolver el problema de un solenoide semiinfinito, pero la solución es casi tan compleja como la del solenoide de longitud finita, que veremos cuando analicemos la solución exacta, así que no merece la pena tal cálculo.

3.2 Empleando las cargas

Como antes, se verifica que

$\rho_m=0\,$ $\sigma=\pm M_0$

(con el signo dependiente de si estamos en la cara superior o en la inferior).

En este caso el sistema no es equivalente a un condensador, pues la separación entre las “placas” es mucho mayor que el tamaño de las mismas. Sin embargo, si estamos interesados en el campo en el centro del imán, podemos “ver” los discos de carga como dos cargas puntuales de valor

$q_m=\pm M_0 S=\pm \pi M_0 R^2$

El campo creado por estas dos cargas en un punto situado a $L / 2$ de ambas es análogo a un campo eléctrico (sin el factor $\varepsilon_0$ )

$\mathbf{H}=\sum_i \frac{q_{mi}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}= -2\frac{\pi M_0 R^2}{4\pi (L/2)^2}\mathbf{u}_{z}=-\frac{2M_0R^2}{L^2}\mathbf{u}_{z}$

y, a partir de $\mathbf{H}$ , llegamos a $\mathbf{B}$

$\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})=\mu_0M_0\left(1-\frac{2R^2}{L^2}\right)\mathbf{u}_{z}$

Los valores numéricos para estos campos son

$H\simeq -20\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$ $B\simeq 10^5\mu_0\left(1-0.0002\right)\simeq 0.126\,\mathrm{T}$

Vemos que, inversamente a lo que ocurrió en el límite anterior, en este caso es más exacto el modelo de cargas magnéticas que el de corrientes, pues obtenemos un término de orden $(R / L) 2$ que antes no apareció. En cualquier caso, la diferencia entre las dos aproximaciones es muy pequeña, pues el nuevo termino incluido vale el 0.02% del anterior.

Para un punto próximo a la superficie no nos vale el campo de una carga puntual en lo que se refiere al disco próximo, sí al que está alejado. En su lugar empleamos el campo de un disco de carga uniforme, que se calcula en electrostática. Para un punto infinitamente cercano a la superficie es

$\mathbf{H}_\mathrm{disco}=\frac{\sigma_m}{2}\mathbf{u}_{z}$

Sumando este campo con el de la carga puntual equivalente a la cara lejana (situada a una distancia $L$ ) queda

$\mathbf{H}=M_0\left(\frac{1}{2}-\frac{R^2}{4L^2}\right)\mathbf{u}_{z}$

En el aire $\mathbf{B}$ y $\mathbf{H}$ son simplemente proporcionales, así que

$\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}=\mu_0M_0\left(\frac{1}{2}-\frac{R^2}{4L^2}\right)\mathbf{u}_{z}$

En cuanto al valor numérico de estos campos, se tiene

$H=10^5\left(0.5-0.000025\right)\simeq 4.999975\times 10^4\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$ $B=62.83\,\mathrm{mT}$

4 Imán de longitud arbitraria

4.1 A partir de las corrientes

Las corrientes equivalentes son las de un solenoide de longitud finita. El campo magnético para los puntos del eje (suponiendo el cilindro centrado en el eje y extendiéndose desde $- L / 2$ a $L / 2$ ) corresponde a la expresión

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{K}_m\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}S'$

con $\mathbf{K}_m=M_0\mathbf{u}_{\varphi}$ en la superficie lateral y nula en el resto.

Este problema se resuelve, para el caso de una corriente libre, en el problema del solenoide finito. La solución es

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0M_0}{2}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{u}_{z}$

donde $α 1$ y $α 2$ son los ángulos con que se ven los extremos del imán desde un punto del eje.

En el punto central del imán $α 2 = - α 1$ con

$\,\mathrm{sen}\,\alpha_2=\frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2+R^2}}=\frac{L}{\sqrt{L^2+4R^2}}$

y

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0M_0L}{\sqrt{L^2+4R^2}}\mathbf{u}_{z}$

En el extremo superior, en cambio,

$\alpha_2=0\qquad\,\mathrm{sen}\,\alpha_2=0$ $\,\mathrm{sen}\,\alpha_1=-\frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}$

y el campo es

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0M_0 L}{2\sqrt{L^2+R^2}}\mathbf{u}_{z}$

A partir de $B$ obtenemos el campo $H$ . Para los puntos del interior del imán ( $- L / 2 < z < L / 2$ ) resulta

$H=\frac{M_0}{2}\left(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1-2\right)$

mientras que en el exterior es, simplemente

$H=\frac{M_0}{2}\left(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1\right)$

La discontinuidad en este campo corresponde a la densidad de carga magnética equivalente a la magnetización.

4.2 A partir de las cargas

@@ Línea 153: / Línea 153: @@
 Este problema se resuelve, para el caso de una corriente libre, en el problema del [[Campo de un solenoide cilíndrico|solenoide finito]]. La solución es
-<math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0M_0}{2}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{u}_{z}</math>
+<center><math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0M_0}{2}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{u}_{z}</math></center>
 donde <math>\alpha_1</math> y <math>\alpha_2</math> son los ángulos con que se ven los extremos del imán desde un punto del eje.

Imán cilíndrico

De Laplace

Revisión de 18:27 31 mar 2009

Contenido

1 Enunciado

2 Imán corto

2.1 Empleando las corrientes

2.1.1 En el centro del imán

2.1.2 Justo encima del imán

2.2 Empleando las cargas

3 Imán largo

3.1 Empleando las corrientes

3.2 Empleando las cargas

4 Imán de longitud arbitraria

4.1 A partir de las corrientes

4.2 A partir de las cargas

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