Campo magnético de corrientes estacionarias
De Laplace
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Si tenemos un conjunto de distribuciones, la resultante será la suma de la fuerza sobre cada una de ellas. | Si tenemos un conjunto de distribuciones, la resultante será la suma de la fuerza sobre cada una de ellas. | ||
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- | Los campos magnéticos pueden tener distintas causas. Entre ellas, se encuentran las propias corrientes eléctricas. | + | Los campos magnéticos pueden tener distintas causas. Entre ellas, se encuentran las propias corrientes eléctricas. |
- | + | El campo magnético creado por una carga puntual en movimiento a velocidades bajas (comparadas con la de la luz) vale aproximadamente | |
- | <math>\mu_0</math> es una constante denominada ''[[permeabilidad del vacío]]'', cuyo valor en el SI es <math>\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\,\mathrm{T}{\cdot}\mathrm{m}/\mathrm{A}</math>. | + | <center><math>\mathbf{B}\simeq \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\mathbf{v}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0){|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}</math></center> |
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+ | siendo \mathbf{r}_0 la posición instantánea de la carga. <math>\mu_0</math> es una constante denominada ''[[permeabilidad del vacío]]'', cuyo valor en el SI es <math>\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\,\mathrm{T}{\cdot}\mathrm{m}/\mathrm{A}</math>. | ||
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+ | El campo magnético creado por una distribuciónde corriente lineal puede calcularse integrando la expresión anterior. Para el caso de una corriente estacionario la aproximación se convierte en una igualdad y el campo magnético viene dado por la [[ley de Biot y Savart]] | ||
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+ | <center><math>\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}</math></center> | ||
Un caso particular importante es el del hilo rectilíneo infinito que produce un campo | Un caso particular importante es el del hilo rectilíneo infinito que produce un campo |
Revisión de 20:12 18 mar 2009
Contenido |
1 Fuerza sobre una carga en movimiento
Se ve en electrostática que una carga puntual en reposo experimenta una fuerza . Si esta carga se encuentra en movimiento, debemos añadir una fuerza adicional, proporcional a la velocidad y ortogonal a ella, de acuerdo con la ley de Lorentz
![\mathbf{F} = q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)](/wiki/images/math/1/1/7/117693a4a6d55502f66788d04f156c72.png)
A esta fuerza adicional se la denomina fuerza magnética, y al campo vectorial , que da la magnitud de esta fuerza, se lo denomina campo magnético (también conocido como inducción magnética y como densidad de flujo magnético).
El campo magnético se mide en el SI en Teslas (T), siendo 1 T = 1 N/A·m. Un Tesla es una cantidad grande para los valores usuales, por lo que con frecuencia se usa como unidad el Gauss (1 Gauss = 0.0001 T).
La fuerza sobre una carga en movimiento puede extenderse a un conjunto de ellas, que formarán una densidad de corriente. Para el caso de una densidad , la fuerza magnética es
![\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \mathbf{J}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau](/wiki/images/math/6/6/3/66305f346bc07ce306f6010df916da65.png)
y análogamente se tiene la fuerza sobre una distribución de corriente superficial y sobre un conductor filiforme.
![\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \mathbf{K}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}S](/wiki/images/math/e/8/b/e8b0c22bd2e624c84b892c129489ac77.png)
![\mathbf{F}_\mathrm{m}=I\int d\mathbf{r}\times\mathbf{B}](/wiki/images/math/b/4/e/b4ef371880f40a5a1b6a169092d002c3.png)
Si tenemos un conjunto de distribuciones, la resultante será la suma de la fuerza sobre cada una de ellas.
2 Campo magnético debido a una corriente
Los campos magnéticos pueden tener distintas causas. Entre ellas, se encuentran las propias corrientes eléctricas.
El campo magnético creado por una carga puntual en movimiento a velocidades bajas (comparadas con la de la luz) vale aproximadamente
siendo \mathbf{r}_0 la posición instantánea de la carga. μ0 es una constante denominada permeabilidad del vacío, cuyo valor en el SI es .
El campo magnético creado por una distribuciónde corriente lineal puede calcularse integrando la expresión anterior. Para el caso de una corriente estacionario la aproximación se convierte en una igualdad y el campo magnético viene dado por la ley de Biot y Savart
![\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}](/wiki/images/math/d/9/3/d93db8f9c97d695aa3bba1b45da63262.png)
Un caso particular importante es el del hilo rectilíneo infinito que produce un campo
![\mathbf{B} = \frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\mathbf{u}_{\varphi}](/wiki/images/math/a/3/4/a34b555d074fa24c022175fa3bf7486b.png)
Este campo gira en torno al hilo, siendo circunferencias sus líneas de campo
También es importante el campo debido a una espira circular, que en los puntos de su eje vale
![\mathbf{B} = \frac{\mu_0IR^2\mathbf{u}_{z}}{2(R^2+z^2)^{3/2}}](/wiki/images/math/f/4/9/f494a4d8c98957ad050629b1a8d27718.png)
Este campo apunta en la dirección del eje de la espira, siendo máximo, con un valor μ0I / 2R en su centro.
De forma análoga al caso de la corriente lineal tenemos el campo creado por una distribución de corriente estacionaria volumétrica y por una superficial
![\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'](/wiki/images/math/d/a/0/da062c87b91679b75a4d3ce4d6bf8ebf.png)
![\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{K}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}S'](/wiki/images/math/b/8/0/b80efade0439351dc684ab89cd3ea81d.png)
En estas expresiones las densidades de corriente son funciones de la posición, ,
.