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Masa colgando de un hilo (GIE)

De Laplace

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(→Enunciado)
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==Posición, velocidad y aceleración==
==Posición, velocidad y aceleración==
===Posición===
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La coordenada x de la partícula es inmediata
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Para la coordenada y observamos que se halla a una cierta distancia por debajo de la polea P
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siendo c la longitud del hilo AP. Obtenemos esta longitud observando que por tratarse de un triángulo isósceles, la altura corta a AP en su punto medio
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lo que da
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y para el vector de posición
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<center><math>\vec{r}(t)=b\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\left(b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)+2b\,\mathrm{sen}(\Omega t)-2b\right)\vec{\jmath}</math></center>
<center><math>\vec{r}(t)=b\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\left(b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)+2b\,\mathrm{sen}(\Omega t)-2b\right)\vec{\jmath}</math></center>
===Velocidad===
===Velocidad===
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Derivamos respecto al tiempo
<center><math>\vec{v}(t)=-2b\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+2b\Omega\left(\cos(2\Omega t)+\cos(\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>
<center><math>\vec{v}(t)=-2b\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+2b\Omega\left(\cos(2\Omega t)+\cos(\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>
===Aceleración===
===Aceleración===
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Volvemos a derivar respecto al tiempo
<center><math>\vec{a}(t)=-4b\Omega^2\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\vec{\imath}-2b\Omega^2\left(2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)+\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>
<center><math>\vec{a}(t)=-4b\Omega^2\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\vec{\imath}-2b\Omega^2\left(2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)+\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>
==Instante t = &pi;/2&Omega;==
==Instante t = &pi;/2&Omega;==
===Posición, velocidad y aceleración===
===Posición, velocidad y aceleración===
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Sustituimos el valor de t, observando que
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<center><math>\mathrm{sen}(\Omega t)=\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\qquad\qquad \mathrm{sen}(2\Omega t)=\mathrm{sen}(\pi)=0\qquad\qquad \mathrm{cos}(2\Omega t)=\mathrm{sen}(\pi)=-1</math></center>
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y queda
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<center><math>\vec{r}=-b\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}=-2b\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}=b\Omega^2(4\vec{\imath}-2\vec{\jmath})</math></center>
===Triedro de Frenet===
===Triedro de Frenet===
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<center><math>\vec{T}=-\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{N}=+\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{B}=\vec{k}</math></center>
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Para el vector tangente normalizamos la velocidad
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El binormal es el perpendicular al plano del movimiento
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El normal es el producto de los dos anteriores
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<center><math>\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T}=+\vec{\imath}</math></center>
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===Componentes intrínsecas===
===Componentes intrínsecas===
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<center><math>a_t=2b\Omega^2\qquad\qquad a_n = 4b\Omega^2</math></center>
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La aceleración tangencial es la proyección de la aceleración sobre el vector tangente
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<center><math>a_t=\vec{a}\cdot\vec{T}=2b\Omega^2</math></center>
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La normal es la proyección sobre el vector normal
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<center><math>a_n =\vec{a}\cdot\vec{N} = 4b\Omega^2</math></center>
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===Radio y centro de curvatura===
===Radio y centro de curvatura===
-
<center><math>R=b\qquad\qquad \vec{r}_c=\vec{0}</math></center>
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A partir de la rapidez y la aceleración normal
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<center><math>R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=b\qquad\qquad \vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=\vec{0}</math></center>  
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]
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Revisión de 09:28 12 oct 2017

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se halla situada en el extremo de un hilo de longitud 2b, uno de cuyos extremos se encuentra en el punto A(b,0) y que pasa por una pequeña polea situada en el extremo de una barra de longitud b que gira alrededor del origen O(0,0) con velocidad angular constante 2Ω. En t = 0 la barra está completamente horizontal. La partícula cuelga verticalmente del hilo tras pasar éste por la polea y el movimiento es lo suficientemente lento como para que la partícula no oscile.

  1. Determine la posición, velocidad y aceleración de la partícula como función del tiempo.
  2. Para el instante t = π / (2Ω), halle
    1. La posición, velocidad y aceleración de la partícula.
    2. El triedro de Frenet referido a la base canónica \{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}
    3. Las componentes intrínsecas de la aceleración (escalares).
    4. El radio y el centro de curvatura.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Posición

La coordenada x de la partícula es inmediata

x = b\cos(2\Omega t)\,

Para la coordenada y observamos que se halla a una cierta distancia por debajo de la polea P

y = b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)-(2b-c)

siendo c la longitud del hilo AP. Obtenemos esta longitud observando que por tratarse de un triángulo isósceles, la altura corta a AP en su punto medio

\frac{c}{2} = b\,\mathrm{sen}(\Omega t)

lo que da

y = b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)-(2b-2b\,\mathrm{sen}(\Omega t)

y para el vector de posición

\vec{r}(t)=b\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\left(b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)+2b\,\mathrm{sen}(\Omega t)-2b\right)\vec{\jmath}

2.2 Velocidad

Derivamos respecto al tiempo

\vec{v}(t)=-2b\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+2b\Omega\left(\cos(2\Omega t)+\cos(\Omega t)\right)\vec{\jmath}

2.3 Aceleración

Volvemos a derivar respecto al tiempo

\vec{a}(t)=-4b\Omega^2\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\vec{\imath}-2b\Omega^2\left(2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)+\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{\jmath}

3 Instante t = π/2Ω

3.1 Posición, velocidad y aceleración

Sustituimos el valor de t, observando que

\mathrm{sen}(\Omega t)=\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\qquad\qquad \mathrm{sen}(2\Omega t)=\mathrm{sen}(\pi)=0\qquad\qquad \mathrm{cos}(2\Omega t)=\mathrm{sen}(\pi)=-1

y queda

\vec{r}=-b\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}=-2b\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}=b\Omega^2(4\vec{\imath}-2\vec{\jmath})

3.2 Triedro de Frenet

Para el vector tangente normalizamos la velocidad

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\vec{\jmath}

El binormal es el perpendicular al plano del movimiento

\vec{B}=\vec{k}

El normal es el producto de los dos anteriores

\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T}=+\vec{\imath}

3.3 Componentes intrínsecas

La aceleración tangencial es la proyección de la aceleración sobre el vector tangente

a_t=\vec{a}\cdot\vec{T}=2b\Omega^2

La normal es la proyección sobre el vector normal

a_n =\vec{a}\cdot\vec{N} = 4b\Omega^2

3.4 Radio y centro de curvatura

A partir de la rapidez y la aceleración normal

R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=b\qquad\qquad \vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=\vec{0}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Masa_colgando_de_un_hilo_(GIE)"

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