Leyes de conservación en mecánica analítica (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 12:38 17 ene 2017

Contenido

1 Introducción
2 Coordenadas cíclicas
3 Función de Routh
4 Energía y función hamiltoniana

1 Introducción

Una constante de movimiento o integral primera es una función dependiente de las coordenadas, velocidades y posiblemente el tiempo, cuyo valor es el mismo en todo instante.

Si el sistema viene descrito por una serie de coordenadas generalizadas $q k$ , una constante de movimiento cumpliría

$C=C(q_k,\dot{q}_k,t)\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}=0$

Desarrollando aquí la derivada total queda la condición para que C sea una constante

$\sum_k \frac{\partial C}{\partial q_k}\dot{q}_k+\sum_k \frac{\partial C}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k+\frac{\partial C}{\partial t}=0$

A partir de las ecuaciones de Lagrange pueden obtenerse expresiones para las segundas derivadas que, sustituidas aquí deberían llevar a la anulación del primer término, si efectivamente C es una constante.

La búsqueda de constantes de movimiento es una tarea que puede ser complicada, ya que las posibles combinaciones de coordenadas generalizadas son infinitas. Aquí conideraremos solo los casos matemáticamente más simples.

2 Coordenadas cíclicas

Suponemos el caso más simple de coordenadas generalizadas independientes y ausencia de fuerzas no conservativas. En estas condiciones se satisfacen las ecuaciones de Lagrange

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k}=0$

siendo la lagrangiana del sistema

$\mathcal{L}(q_k,\dot{q}_k,t)=K-U$

Una coordenada $q 1$ se dice $c c l i c a$ o $i g n o r a b l e$ si no aparece en la lagrangiana, es decir

$\mathcal{L}(q_2,\ldots,q_n,\dot{q}_1\,\ldots,\dot{q}_n,t)$

y por tanto se anula derivada parcial

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_1}=0$

Esto implica, de acuerdo con las ecuaciones de Lagrange, que

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)=0\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_1}=\beta_1 = \mathrm{cte}$

A la derivada parcial

$p_j=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j}(q_k,\dot{q}_k,t)$

se la denomina el momento conjugado de la coordenada $q j$ . Por tanto, si $q 1$ es cíclica su momento conjugado $p 1$ es una constante de movimiento de valor $β 1$ dado por las condiciones iniciales.

Hay una estrecha relación entre las constantes de movimiento y las simetrías del sistema.

En el caso de que $q 1$ represente una coordenada cartesiana, su momento conjugado representa la cantidad de movimiento en dicha dirección. Por tanto, si el sistema tiene simetría traslacional, es decir, no cambia al realizar un desplzamiento rectilíneo, entonces se conserva una componente de la cantidad de movimiento.

En el caso de que $q 1$ represente una coordenada angular en torno a un eje, su momento conjugado representa el momento cinético asociado a giros en torno al eje. Por tanto, si el sistema tiene simetría de revolución, es decir, no cambia al realizar un desplzamiento en torno al eje, entonces se conserva una componente del momento cinético.

3 Función de Routh

Cuando se tiene una coordenada cíclica $q 1$ se sabe que su momento conjugado $p 1$ es una constante de valor $β 1$ . A partir de esta constante puede normalmente despejarse la velocidad generalizada $\dot{q}_1$ . Puede plantearse entonces la reducción del sistema en una variable aprovechando que $q 1$ no aparece en la lagrangiana y que $\dot{q}_1$ puede ponerse en función del resto de coordenadas y constantes.

No obstante, el procedimiento a seguir no consiste en la simple sustitución en $\mathcal{L}$ . Esto produciría ecuaciones incorrectas. Para la reducción del sistema deben seguirse los siguientes pasos:

Identifíquese la coordenada cíclica $q 1$ (puede haber más de una) que no aparece en la lagrangiana (¡ojo! sí que aparece $\dot{q}_1$ )
Calcúlese su momento conjugado $p_1=\partial\mathcal{L}/\partial \dot{q}_1$ . Este momento es una función de $\dot{q}_1$ y del resto de coordenadas y velocidades, siendo una constante de movimiento.
Hállese, si esposible, el valor concreto, $β 1$ del momento generalizado a partir de las condiciones iniciales.
Despéjese la velocidad generalizada $\dot{q}_1$ de la expresión de $p 1$

$\dot{q}_1 = \dot{q}_1(\beta_1,q_2,\ldots,\dot{q}_2,\ldots,t)$

Sustitúyase en la lagrangiana
Calcúlese la denominada función de Routh, que equivale a la lagrangiana reducida

$\mathcal{R}=\mathcal{R}(\beta_1,q_2,\ldots,\dot{q}_2,\ldots,t)=\mathcal{L}-\dot{q}_1\beta_1$

Las nuevas ecuaciones de movimiento, ya con un grado de libertad menos, se calculan con esta función

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{R}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial q_k}=0\qquad\qquad k = 2,\ldots$

Si fuera necesario hallar $q 1$ se calcula integrando respecto al tiempo la ecuación

$\dot{q}_1 = -\frac{\partial\mathcal{R}}{\partial \beta_1}$

Si hay más de una coordenada cíclica, la correspondiente función de Routh se halla como

$\mathcal{R}=\mathcal{R}(\beta_1,\ldots,\beta_n,q_{n+1},\ldots,\dot{q}_{n+1},\ldots,t)=\mathcal{L}-\sum_{k=1}^n\dot{q}_k\beta_k$

4 Energía y función hamiltoniana

El tiempo t que aparece en la lagrangiana no es una coordenada generalizada, ya que su papel en las ecuaciones es diferente al resto. No obstante, de la misma manera que la ausencia de $q 1$ implica una ley de conservación de su momento conjugado, la independencia temporal de la lagrangiana también implica una constante de movimiento.

Cuando la lagrangiana es independiente del tiempo

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=0$

la constante de movimiento no es la propia lagrangiana (es decir,de que se anule la derivada parcial no se deduce que se anule la derivada total), sino que la cantidad que se conserva es la denominada función hamiltoniana

$h = \sum_k \dot{q}_k \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}-\mathcal{L}$

Esta función coincide en muchos casos, pero no siempre, con la energía mecánica del sistema. Por ello, se dice que esta cantidad conservada es del tipo energía.

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 ==Energía y función hamiltoniana==
 El tiempo t que aparece en la lagrangiana no es una coordenada generalizada, ya que su papel en las ecuaciones es diferente al resto. No obstante, de la misma manera que la ausencia de <math>q_1</math> implica una ley de conservación de su momento conjugado, la independencia temporal de la lagrangiana también implica una constante de movimiento.
+Cuando la lagrangiana es independiente del tiempo
+<center><math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=0</math></center>
+la constante de movimiento no es la propia lagrangiana (es decir,de que se anule la derivada parcial no se deduce que se anule la derivada total), sino que la cantidad que se conserva es la denominada función hamiltoniana
+<center><math>h = \sum_k \dot{q}_k \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}-\mathcal{L}</math></center>
+Esta función coincide en muchos casos, pero no siempre, con la energía mecánica del sistema. Por ello, se dice que esta cantidad conservada es del tipo energía.
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