Dos hemisferios y una lámina conductora
De Laplace
(→Usando los coeficientes de capacidad) |
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y de aquí hallamos la carga en la chapa central | y de aquí hallamos la carga en la chapa central | ||
| - | <center><math>Q_1 = \frac{2\pi\varepsilon_0R^2}{a}\left(V_0-V_2\right) = \frac{4\pi\varepsilon_0R^2}{R+2a | + | <center><math>Q_1 = \frac{2\pi\varepsilon_0R^2}{a}\left(V_0-V_2\right) = \frac{4\pi\varepsilon_0R^2}{R+2a}V_0</math></center> |
====Usando solo el circuito equivalente==== | ====Usando solo el circuito equivalente==== | ||
Revisión de 17:16 14 ene 2009
Contenido |
1 Enunciado
). En el espacio entre las dos semiesferas se encuentra una fina chapa circular de radio R y separada una distancia a de cada hemisferio.
Las dos semiesferas están conectadas por un hilo conductor en todo momento.
- Suponga que la chapa se encuentra a una tensión V0 mientras que el conjunto de las dos semiesferas está aislado y descargado. ¿Cuánto valen la cargas almacenadas y las tensiones de cada conductor?
- Para el caso anterior de las expresiones aproximadas para el campo entre la chapa y los hemisferios, y en el exterior de estos.
- Calcule la energía electrostática almacenada en este sistema.
- Suponga que se desconecta la fuente V0 y, acto seguido, se ponen los hemisferios a tierra. ¿Cuáles son las nuevas cargas, tensiones y energía almacenada?
Desprecie los efectos de borde.
2 Solución
2.1 Cargas y potenciales
2.1.1 Usando los coeficientes de capacidad
Este sistema está formado por solo dos conductores, ya que las semiesferas están conectadas en todo momento, de forman que se comportan de forma solidaria. llmamaremos “1” a la placa central y “2” a la asociación de los dos hemisferios.
La matriz de coeficientes de capacidad tendrá tres elementos independientes
Estos coeficientes pueden calcularse a partir del circuito equivalente, el cual estará formado, en principio por tres condensadores.
El condensador 
es el que forma la placa central con las dos semiesferas. Su capacidad corresponde a la asociación en paralelo de dos condensadores planos, de sección πR2 y distancia entre placas a. Por ello,
El condensador 
corresponde a las líneas de campo que van de la placa central a tierra (el infinito). Sin embargo, si despreciamos los efectos de borde, todas las líneas de campo del conductor 1 van a parar al 2, esto es, el 1 se encuentra en influencia total con el 2. Al no haber líneas que vayan del 1 al infinito
El condensador 
describe el exterior del conjunto de dos hemisferios. Al despreciar los fectos de borde, este sistema puede aproximarse por una sola esfera conductora, por lo que su autocapacidad vale
La relación entre las cargas y los potenciales, a partir del circuito equivalente, será
o, en forma matricial
En el primer apartado, los datos son que la tensión de conductor 1 es V0 y la carga del segundo es nula. Sustituyendo en las relaciones anteriores obtenemos el potencial de los dos hemisferios, que no es nulo, aunque estén descargados,
y de aquí hallamos la carga en la chapa central
