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Partícula unida a un sistema articulado

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 41: Línea 41:
Si particularizamos los resultados generales para el instante <math>t=0</math> nos queda
Si particularizamos los resultados generales para el instante <math>t=0</math> nos queda
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<center><math>\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>
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<center><math>\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>
sin más que aplicar que <math>\mathrm{sen}(0)=0</math> y <math>\cos(0)=1</math>.
sin más que aplicar que <math>\mathrm{sen}(0)=0</math> y <math>\cos(0)=1</math>.
Línea 60: Línea 60:
El vector aceleración ya lo tenemos
El vector aceleración ya lo tenemos
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<center><math>\vec{a}=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>
+
<center><math>\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>
Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.
Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.
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<center><math>\vec{a}_t=\vec{0}\qquad\qquad a_t=0</math></center>
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<center><math>\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0</math></center>
y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo
y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo
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<center><math>\vec{a}_n=\vec{a}=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2</math></center>
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<center><math>\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2</math></center>
El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal
El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal
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<center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=-\vec{\imath}</math></center>
+
<center><math>\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}</math></center>
===Radio y centro de curvatura===
===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal
El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal
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<center><math>R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}</math></center>
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<center><math>R_0=\frac{|\vec{v}|_0^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}</math></center>
y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto
y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto
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<center><math>\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}</math></center>
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<center><math>\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}</math></center>
Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.
Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.

Revisión de 17:44 30 oct 2015

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud h situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante Ω respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular − 2Ω. En el instante t = 0 el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

  1. Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.
  2. Para el instante t = 0 halle
    1. La velocidad y la rapidez.
    2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
    3. El radio y el centro de curvatura.
  3. Para el instante t = π / (2Ω) calcule
    1. La velocidad y la rapidez.
    2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png

2 Ecuaciones horarias

Podemos halalr la posición instantánea mediante una suma vectorial

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}

siendo

\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}

y

\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}

lo que da

\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

y la aceleración derivando una seguna vez

\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}
Archivo:varillas-articuladas-01.gif  Archivo:varillas-articuladas-02.gif

3 Magnitudes en t=0

Si particularizamos los resultados generales para el instante t = 0 nos queda

\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}

sin más que aplicar que sen(0) = 0 y cos(0) = 1.

3.1 Velocidad y rapidez

La velocidad ya la tenemos

\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

|\vec{v}|_0=h\Omega

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}|_0}=-\vec{\jmath}

3.2 Aceleración

El vector aceleración ya lo tenemos

\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}

3.3 Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

R_0=\frac{|\vec{v}|_0^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.

Archivo:varillas-articuladas-03.png

4 Magnitudes en t = π/(2Ω)

De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)

4.1 Velocidad y rapidez

Ya tenemos la velocidad

\vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)

y nos queda la rapidez

\left|\vec{v}\right|_1=h\Omega\sqrt{5}

siendo el vector tangente en este instante

\vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}

4.2 Aceleración

La aceleración al completo ya la conocemos

\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2

y en forma vectorial

\vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

\vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)

siendo la aceleración normal escalar

a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

Archivo:varillas-articuladas-04.png
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Part%C3%ADcula_unida_a_un_sistema_articulado"

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