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Fuerza sobre una partícula semiesférica

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Potencial eléctrico)
(→Potencial eléctrico)
Línea 34: Línea 34:
<center><math>\nabla^2\left(-E_0z\right) = \frac{\partial^2(-E_0z)}{\partial z^2} = 0</math></center>
<center><math>\nabla^2\left(-E_0z\right) = \frac{\partial^2(-E_0z)}{\partial z^2} = 0</math></center>
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\nabla^2\left(\frac{A\cos\theta}{r^2}\right) =
\nabla^2\left(\frac{A\cos\theta}{r^2}\right) =
  \frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \  }{r}\left(\frac{A\cos\theta}{r^2}\right)\right)+
  \frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \  }{r}\left(\frac{A\cos\theta}{r^2}\right)\right)+
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Vemos que esta ecuación no sirve para determinar <math>A</math>, ya que se satisface sea cual sea su valor.
Vemos que esta ecuación no sirve para determinar <math>A</math>, ya que se satisface sea cual sea su valor.
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Aplicando ahora que en la superficie del plano el potencial se anule
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Aplicando ahora que en la superficie del plano el potencial se anule tenemos que
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ya que en <math>z=0</math>, <math>\theta=\pi/2</math>. Esta condición tampoco determina <math>A</math>.
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ya que en $z=0$, $\theta=\pi/2$. Esta condición tampoco determina $A$.
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En la superficie de la semiesfera (<math>r=a</math>) tenemos
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<center><math>z = r \cos\theta = a\cos\theta</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\phi = -E_0 a \cos\theta + \frac{A\cos\theta}{a^2}</math></center>
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En la superficie de la semiesfera ($r=a$) tenemos
 
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z = r \cos\theta = a\cos\theta
 
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\qquad \phi = -E_0 a \cos\theta + \frac{A\cos\theta}{a^2}
 
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para que esta expresión se anule debe ser
para que esta expresión se anule debe ser
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A = E_0 a^3
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Por último, en el infinito el potencial tiende al de un campo uniforme,
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Por último, en el infinito el potencial tiende al de un campo uniforme, ya que el término dipolar tiende a cero.
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ya que el término dipolar tiende a cero.
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Resumiendo, la expresión correcta para el potencial es
Resumiendo, la expresión correcta para el potencial es
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\phi = -E_0 z + \frac{E_0 a^3\cos\theta}{r^2} =
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<center><math>\phi = -E_0 z + \frac{E_0 a^3\cos\theta}{r^2} = -E_0\left(r-\frac{a^3}{r^2}\right)\cos\theta</math></center>
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[[Categoría:Problemas de campo eléctrico en presencia de conductores]]
[[Categoría:Problemas de campo eléctrico en presencia de conductores]]

Revisión de 20:01 16 dic 2008

1 Enunciado

Se trata de hallar el campo eléctrico necesario para elevar en el aire una partícula metálica que reposa sobre un plano a tierra. La partícula conductora la podemos modelar como un hemisferio de radio a. Existe un campo eléctrico impuesto que, en puntos alejados de la semiesfera, es uniforme y perpendicular al plano conductor, \mathbf{E}_\infty = E_0\mathbf{u}_{z}.

El potencial en todos los puntos por encima del plano y la partícula es de la forma

\phi = -E_0 z + \frac{A\cos\theta}{r^2}        (z>0,\ r>a)

siendo r la distancia al centro de la semiesfera.

  1. Determine el valor de A que hace que se satisfagan todas las ecuaciones y condiciones de contorno.
  2. Halle la densidad de carga en la superficie de la semiesfera.
  3. Calcule la presión electrostática en la superficie de la partícula. A partir de esta presión, halle la fuerza eléctrica sobre la partícula, empleando la relación \mathrm{d}\mathbf{F} = p\,\mathrm{d}\mathbf{S}.
  4. Si la partícula es de aluminio y su radio vale a=1\,\mathrm{mm}, ¿qué campo es preciso para levantar esta partícula?

2 Solución

2.1 Potencial eléctrico

Dado que el espacio por encima del plano y la partícula está vacío, en él el potencial debe verificar la ecuación de Laplace.

\nabla^2\phi = 0 \qquad (z>0,\ r>a)

Como condiciones de contorno, debe cumplir que sobre la superficie del plano de tierra y sobre la semiesfera, el potencial debe anularse

\phi = 0 \qquad (z=0, r = a)

mientras que en puntos alejados, el potencial debe reducirse al de un campo uniforme, ya que la partícula no influye en puntos muy alejados

\phi\to -E_0 z \qquad (r\to\infty)

El potencial propuesto en el enunciado verifica la ecuación de Laplace por tratarse de la suma del de un campo uniforme con el de un dipolo. En cualquier caso, lo verificamos

\nabla^2\phi = \nabla^2(-E_0z) + \nabla^2\left(\frac{A\cos\theta}{r^2}\right)

Hallando las laplacianos por separado

\nabla^2\left(-E_0z\right) = \frac{\partial^2(-E_0z)}{\partial z^2} = 0


\nabla^2\left(\frac{A\cos\theta}{r^2}\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \ }{r}\left(\frac{A\cos\theta}{r^2}\right)\right)+ \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\frac{\partial\ }{\partial \theta}\left(\frac{A\cos\theta}{r^2}\right)\right)= \frac{2A\cos\theta}{r^4} - \frac{2A\cos\theta}{r^4} = 0

Vemos que esta ecuación no sirve para determinar A, ya que se satisface sea cual sea su valor.

Aplicando ahora que en la superficie del plano el potencial se anule tenemos que

\phi = -E_0{\cdot}0 + \frac{A{\cdot}0}{r^2} = 0

ya que en z = 0, θ = π / 2. Esta condición tampoco determina A.

En la superficie de la semiesfera (r = a) tenemos

z = rcosθ = acosθ        \phi = -E_0 a \cos\theta + \frac{A\cos\theta}{a^2}

para que esta expresión se anule debe ser

A = E0a3

Por último, en el infinito el potencial tiende al de un campo uniforme, ya que el término dipolar tiende a cero.

Resumiendo, la expresión correcta para el potencial es

\phi = -E_0 z + \frac{E_0 a^3\cos\theta}{r^2} = -E_0\left(r-\frac{a^3}{r^2}\right)\cos\theta
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Fuerza_sobre_una_part%C3%ADcula_semiesf%C3%A9rica"

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