Esfera conductora con dos huecos esféricos

De Laplace

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	El problema se reduce a la determinación de los coeficientes de capacidad del sistema. Conocidos éstos, con los datos del problema pueden determinarse las cargas y potenciales restantes.		El problema se reduce a la determinación de los coeficientes de capacidad del sistema. Conocidos éstos, con los datos del problema pueden determinarse las cargas y potenciales restantes.
-	La forma más sencilla de determinar la relación <math>Q</math>&mdash;<math>V</math> es a través del circuito equivalente. Tenemos tres conductores: la esfera exterior (que denominaremos &ldquo;1&rdquo;), la esfera a potencial <math>V_0</math> (&ldquo;2&rdquo;) y la que está a tierra (&ldquo;3&rdquo;).	+	La forma más sencilla de determinar la relación <math>Q</math>&mdash;<math>V</math> es a través del circuito equivalente. Tenemos tres conductores: la esfera exterior (que denominaremos &ldquo;2&rdquo;), la esfera a potencial <math>V_0</math> (&ldquo;1&rdquo;) y la que está a tierra (&ldquo;3&rdquo;).
-	En el circuito, cada conductor representa a un nodo. En principio, entre cada par de conductores se encuentra un condensador <math>\overline{C}_{ij}</math>, más los que conectan a cada uno con el infinito, <math>\overline{C}_{ii}</math>. Sin embargo, el conductor 1 apantalla al 2 y al 3, tanto entre sí como con el infinito (no puede haber líneas de campo que vayan del 2 al 3 o al exterior), por tanto,	+	En el circuito, cada conductor representa a un nodo. En principio, entre cada par de conductores se encuentra un condensador <math>\overline{C}_{ij}</math>, más los que conectan a cada uno con el infinito, <math>\overline{C}_{ii}</math>. Sin embargo, el conductor 2 apantalla al 1 y al 3, tanto entre sí como con el infinito (no puede haber líneas de campo que vayan del 1 al 3 o al exterior), por tanto,
-	<center><math>\overline{C}_{22}=\overline{C}_{33}=\overline{C}_{23}=0</math></center>	+	<center><math>\overline{C}_{11}=\overline{C}_{33}=\overline{C}_{13}=0</math></center>
-	A su vez, el conductor 2 forma con el conductor 1 un condensador esférico, de radio interior <math>R/4</math> y exterior <math>R/2</math>. Lo mismo ocurre entre el 3 y el 1. Aplicando la fórmula para la capacidad de un condensador esférico <math>C=4\pi\varepsilon_0 a b/(b-a)</math>, resulta	+	A su vez, el conductor 1 forma con el conductor 2 un condensador esférico, de radio interior <math>R/4</math> y exterior <math>R/2</math>. Lo mismo ocurre entre el 3 y el 2. Aplicando la fórmula para la capacidad de un condensador esférico <math>C=4\pi\varepsilon_0 a b/(b-a)</math>, resulta
-	<center><math>\overline{C}_{12}=\overline{C}_{13}=\frac{4\pi\varepsilon_0(R/2)(R/4)}{R/2-R/4}=2\pi\varepsilon_0 R</math></center>	+	<center><math>\overline{C}_{12}=\overline{C}_{23}=\frac{4\pi\varepsilon_0(R/2)(R/4)}{R/2-R/4}=2\pi\varepsilon_0 R</math></center>
-	Podemos demostrar este resultado. Para calcular el coeficiente <math>C_{12}</math> debemos suponer el conductor 2 (una de las esferas interiores) a potencial unidad y el resto a tierra. En este caso, no hay campo eléctrico ni en el exterior del conductor 1, ni en el hueco entre el 1 y el 3, por estar todas las superficies a tierra.	+	Podemos demostrar este resultado. Para calcular el coeficiente <math>C_{21}</math> debemos suponer el conductor 1 (una de las esferas interiores) a potencial unidad y el resto a tierra. En este caso, no hay campo eléctrico ni en el exterior del conductor 2, ni en el hueco entre el 2 y el 3, por estar todas las superficies a tierra.
-	En el hueco entre el conductor 2 y el 1 debemos resolver la ecuación de Laplace	+	En el hueco entre el conductor 1 y el 2 debemos resolver la ecuación de Laplace
	<math>\nabla^2\phi=0</math>		<math>\nabla^2\phi=0</math>
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	siendo <math>r_1</math> la distancia medida desde el centro de la esfera interior.		siendo <math>r_1</math> la distancia medida desde el centro de la esfera interior.
-	Si suponemos que, por simetría, el potencial en esta cavidad depende exclusivamente de la coordenada <math>r_1</math>, la ecuación de Laplace se reduce a	+	Al existir simetría de revolución dentro del hueco, la [[Capacidad de una esfera|solución de la ecuación de Laplace]] es
-	\[	+
-	\frac{1}{r_1^2}\dtot{\ }{r_1}\left(r_1^2\dtot{\phi_2}{r_1}\right)=0	+	<center><math>\phi = M + \frac{N}{r_1}</math></center>
-	\]	+
-	con solución	+
-	\[	+
-	\phi_2 = M + \frac{N}{r_1}	+
-	\]	+
	Imponiendo las condiciones de contorno		Imponiendo las condiciones de contorno
-	\[	+
-	1=M+ \frac{N}{R/4}\qquad 0 = M + \frac{N}{R/2}	+	<center><math>1=M+ \frac{N}{R/4}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>0 = M + \frac{N}{R/2}</math></center>
-	\]	+
	queda el potencial		queda el potencial
-	\[
-	\phi_2=\frac{R}{2r_1}-1
-	\]
-	La carga en la esfera interior, que por definición es el coeficiente
-	$C_{22}$ la hallamos a partir del flujo a través de una superficie que
-	la envuelva.
-	\[
-	C_{22} = \varepsilon_0
-	\oint_{S_2}\mathbf{E}_2{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_2 =
-	\varepsilon_0\oint\left(\frac{R}{2r_1^2}\mathbf{u}_{r_1}\right){\cdot}\left(r_1^2\,d\Omega\mathbf{u}_{r_1}\right)=
-	2\pi\varepsilon_0 R
-	\]
-	siendo $d\Omega$ el diferencial de ángulo sólido. Esto nos da el
-	coeficiente $C_{22}=2\pi\varepsilon_0 R$. Como este conductor se
-	encuentra en influencia total con el 1,
-	$C_{12}=-C_{22}=-2\pi\varepsilon_0 R$. La capacidad equivalente entre
-	los dos nodos será $\overline{C}_{12}=-C_{12}=2\pi\varepsilon_0 R$.
-	Por último queda por determinar la capacidad $\overline{C}_{11}$. Ésta	+	<center><math>\phi=\frac{R}{2r_1}-1</math></center>
-	corresponde a las líneas que van del conductor 1 al infinito. El	+
-	problema exterior es equivalente al de una sola esfera, cuya capacidad	+	La carga en la esfera interior, que por definición es el coeficiente <math>C_{11}</math> la hallamos a partir del flujo a través de una superficie que la envuelva.
-	(calculable a partir de la de un condensador esférico haciendo	+
-	$b\to\infty$) vale	+	<center><math>C_{11} = \varepsilon_0 \oint_{S_1}\mathbf{E}_1{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_1 =
-	\[	+	\varepsilon_0\oint\left(\frac{R}{2r_1^2}\mathbf{u}_{r_1}\right){\cdot}\left(r_1^2\,\mathrm{d}\Omega\mathbf{u}_{r_1}\right)=
-	\overline{C}_{11}=4\pi\varepsilon_0 R	+	2\pi\varepsilon_0 R</math></center>
-	\]	+
-	Con esto queda completada la relación entre cargas y capacidades. En	+	siendo <math>\mathrm{d}\Omega</math> el diferencial de ángulo sólido. Esto nos da el coeficiente <math>C_{11}=2\pi\varepsilon_0 R</math>. Como este conductor 1 se encuentra en influencia total con el 2, <math>C_{12}=-C_{11}=-2\pi\varepsilon_0 R</math>. La capacidad equivalente entre los dos nodos será <math>\overline{C}_{12}=-C_{12}=2\pi\varepsilon_0 R</math>.
-	general	+
-	\[	+	Por último queda por determinar la capacidad <math>\overline{C}_{22}</math>. Ésta corresponde a las líneas que van del conductor 2 al infinito. El problema exterior es equivalente al de [[Capacidad de una esfera|una sola esfera]], cuya capacidad (calculable a partir de la de un condensador esférico haciendo <math>b\to\infty</math>) vale
-	Q_1=4\pi\varepsilon_0 RV_1+2\pi\varepsilon_0	+
-	R((V_1-V_2)+(V_1-V_3))=2\pi\varepsilon_0 R(4V_1-V_2-V_3)	+	<center><math>\overline{C}_{22}=4\pi\varepsilon_0 R</math></center>
-	\]	+
-	\[	+	Con esto queda completada la relación entre cargas y capacidades. En general
-	Q_2=2\pi\varepsilon_0 R(V_2-V_1)\qquad Q_3=2\pi\varepsilon_0 R(V_3-V_1)	+
-	\]	+	<center><math>Q_1=2\pi\varepsilon_0 R(V_1-V_2)</math>{{qquad}}<math>Q_2=4\pi\varepsilon_0 RV_2+2\pi\varepsilon_0
		+	R((V_2-V_1)+(V_2-V_3))=2\pi\varepsilon_0 R(-V_1+4V_2-V_3)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_3=2\pi\varepsilon_0 R(V_3-V_2)</math></center>
		+
		+	En forma matricial
		+
		+	<center><math>\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3\end{pmatrix} = 2\pi\varepsilon_0\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}</math></center>
		+
	En nuestro problema, los datos son		En nuestro problema, los datos son
	\[		\[

---

Revisión de 19:57 3 dic 2008

1 Enunciado

En una esfera metálica de radio R se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio R / 2. Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio R / 4. No hay más conductores en el sistema. Suponga que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada; una de las esferas interiores almacena una carga Q₀ y la otra se encuentra a tierra. ¿Cuál es la carga en cada conductor? ¿Y el potencial?

Halle la energía almacenada en el sistema.

2 Solución

El problema se reduce a la determinación de los coeficientes de capacidad del sistema. Conocidos éstos, con los datos del problema pueden determinarse las cargas y potenciales restantes.

La forma más sencilla de determinar la relación Q—V es a través del circuito equivalente. Tenemos tres conductores: la esfera exterior (que denominaremos “2”), la esfera a potencial V₀ (“1”) y la que está a tierra (“3”).

En el circuito, cada conductor representa a un nodo. En principio, entre cada par de conductores se encuentra un condensador , más los que conectan a cada uno con el infinito, . Sin embargo, el conductor 2 apantalla al 1 y al 3, tanto entre sí como con el infinito (no puede haber líneas de campo que vayan del 1 al 3 o al exterior), por tanto,

A su vez, el conductor 1 forma con el conductor 2 un condensador esférico, de radio interior R / 4 y exterior R / 2. Lo mismo ocurre entre el 3 y el 2. Aplicando la fórmula para la capacidad de un condensador esférico , resulta

Podemos demostrar este resultado. Para calcular el coeficiente C₂₁ debemos suponer el conductor 1 (una de las esferas interiores) a potencial unidad y el resto a tierra. En este caso, no hay campo eléctrico ni en el exterior del conductor 2, ni en el hueco entre el 2 y el 3, por estar todas las superficies a tierra.

En el hueco entre el conductor 1 y el 2 debemos resolver la ecuación de Laplace

con las condiciones de contorno

        

siendo r₁ la distancia medida desde el centro de la esfera interior.

Al existir simetría de revolución dentro del hueco, la solución de la ecuación de Laplace es

Imponiendo las condiciones de contorno

        

queda el potencial

La carga en la esfera interior, que por definición es el coeficiente C₁₁ la hallamos a partir del flujo a través de una superficie que la envuelva.

siendo dΩ el diferencial de ángulo sólido. Esto nos da el coeficiente . Como este conductor 1 se encuentra en influencia total con el 2, . La capacidad equivalente entre los dos nodos será .

Por último queda por determinar la capacidad . Ésta corresponde a las líneas que van del conductor 2 al infinito. El problema exterior es equivalente al de una sola esfera, cuya capacidad (calculable a partir de la de un condensador esférico haciendo ) vale

Con esto queda completada la relación entre cargas y capacidades. En general

            

En forma matricial

En nuestro problema, los datos son \[ Q_1=0\qquad V_2=V_0\qquad V_3=0 \] y esto nos da \[ 0=2\pi\varepsilon_0 R(4V_1-V_0)\quad\Rightarrow\quad V_1=\frac{V_0}{4} %\]\[ \quad Q_2=2\pi\varepsilon_0 R\left(V_0-\frac{V_0}{4}\right)=\frac{3\pi\varepsilon_0 R }{2}V_0 %\]\[ \quad Q_3=2\pi\varepsilon_0 R\left(0-\frac{V_0}{4}\right)=-\frac{\pi\varepsilon_0 R }{2}V_0 \] y ya están determinadas todas las incógnitas del problema.

Como alternativa, aprovechando el circuito equivalente al máximo, podemos emplearlo para determinar las cargas en los distintos conductores observando que, por estar los condensadores $\overline{C}_{11}$ y $\overline{C}_{13}$ conectados al conductor 1 y a tierra se encuentran en paralelo, formando un solo condensador de capacidad \dibujops{cap2-16} \[ C=2\pi\varepsilon_0 R+4\pi\varepsilon_0 R=6\pi\varepsilon_0 R \] Este condensador se encuentra en serie con el $\overline{C}_{12}$. La asociación tiene una capacidad \[ C_\mathrm{eq}=\frac{\overline{C}_{12}C}{C+\overline{C}_{12}}=\frac{3}{2}\pi\varepsilon_0 R \] Como la asociación está sometida a una tensión $V_0$, la carga en la placa positiva (el conductor 2) vale \[ Q_2=C_\mathrm{eq}V_0=\frac{3\pi\varepsilon_0 R}{2}V_0 \] A partir de aquí podemos calcular la tensión en el conductor 1, restando la caída de tensión en el condensador $\overline{C}_{12}$ %\hspace*{3.8cm} \[ V_1=V_0-\frac{Q_2}{\overline{C}_{12}}=V_0-\frac{3}{4}V_0=\frac{V_0}{4} \] La carga del conductor 3 la calculamos aplicando que equivale a la de la placa negativa del condensador $\overline{C}_{13}$, sometido a una tensión $V_0/4$ \[ Q_3=-\overline{C}_{13}\frac{V_0}{4}=-\frac{\pi\varepsilon_0 R}{2}V_0 \] \rule{1cm}{0cm}%resultando los valores ya conocidos.

Para hallar la energía, el camino más fácil es de nuevo el circuito equivalente. Ya conocidos las cargas y potenciales, la energía se calcula como \[ \Ene=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{Q_2}{V_2}+\frac{1}{2}Q_3V_3= \frac{1}{2}Q_2V_2=\frac{3\pi\varepsilon_0 R}{4}V_0^2 \] Obsérvese que los conductores $1$ y $3$ no contribuyen por anularse su carga o su potencial.

Esta energía puede también calcularse a partir de la suma de energías almacenadas en diferentes condensadores \[ \Ene=\frac{1}{2}\overline{C}_{11}V_1^2+\frac{1}{2}\overline{C}_{12}(V_1-V_2)^2+ \frac{1}{2}\overline{C}_{13}(V_1-V_3)^2%=\]\[ =\frac{4\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}\right)^2+\frac{2\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}-V_0\right)^2+ \frac{2\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}-0\right)^2= \]\[ =\frac{1}{8}\pi\varepsilon_0 R V_0^2+\frac{9}{16}\pi\varepsilon_0 R V_0^2+\frac{1}{16}\pi\varepsilon_0 R V_0^2=\frac{3}{4}\pi\varepsilon_0 RV_0^2 \]