Potencial de dos cargas puntuales

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:50 1 nov 2009

1 Enunciado

Halle el potencial creado por dos cargas $q 1$ , $- q 2$ situadas a una distancia $a$ una de la otra. Demuestre que la superficie equipotencial $V = 0$ es una esfera.

2 Solución

El potencial creado por estas dos cargas en cualquier punto del espacio es

$\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)$

La equipotencial V=0 vendrá dada por la ecuación

$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)=0$

No es evidente que ésta sea la ecuación de una esfera. Para ponerlo de manifiesto reescribimos la ecuación como

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|=\gamma \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1| $\gamma=\frac{q_2}{q_1}$

Podemos tomar el origen de coordenadas en la carga $q 1$ y el eje Z el que pasa por las dos cargas, de forma que $\mathbf{r}_2=a\mathbf{u}_z$ . Expresando el vector de posición en cartesianas esta ecuación queda

$\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}=\gamma \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Elevando al cuadrado y agrupando términos

$\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1-\gamma^2\right)-2za + a^2 = 0$

Esta es ya claramente la ecuación de una esfera. Para identificar su radio y la posición del centro, despejamos y competamos cuadrados

$x^2+y^2+z^2-2z\frac{a}{1-\gamma^2} + a^2 = 0$ $x^2+y^2+\left(z-\frac{a}{1-\gamma^2}\right) = \frac{a^2}{(1-\gamma^2)^2}-\frac{a^2}{1-\gamma^2}=\frac{a^2\gamma^2}{(1-\gamma^2)^2}$

@@ Línea 5: / Línea 5: @@
 El potencial creado por estas dos cargas en cualquier punto del espacio es
-<center><math>\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\right)</math></center>
+<center><math>\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)</math></center>
+La equipotencial V=0 vendrá dada por la ecuación
+<center><math>\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)=0</math></center>
+No es evidente que ésta sea la ecuación de una esfera. Para ponerlo de manifiesto reescribimos la ecuación como
+<center><math>\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|=\gamma \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|</math>{{qquad}}<math>\gamma=\frac{q_2}{q_1}</math></center>
+Podemos tomar el origen de coordenadas en la carga <math>q_1</math> y el eje Z el que pasa por las dos cargas, de forma que <math>\mathbf{r}_2=a\mathbf{u}_z</math>. Expresando el vector de posición en cartesianas esta ecuación queda
+<center><math>\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}=\gamma \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math></center>
+Elevando al cuadrado y agrupando términos
+<center><math>\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1-\gamma^2\right)-2za + a^2 = 0</math></center>
+Esta es ya claramente la ecuación de una esfera. Para identificar su radio y la posición del centro, despejamos y competamos cuadrados
+<center><math>x^2+y^2+z^2-2z\frac{a}{1-\gamma^2} + a^2 = 0</math></center>
+<center><math>x^2+y^2+\left(z-\frac{a}{1-\gamma^2}\right)  = \frac{a^2}{(1-\gamma^2)^2}-\frac{a^2}{1-\gamma^2}=\frac{a^2\gamma^2}{(1-\gamma^2)^2}</math></center>
 [[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]

Potencial de dos cargas puntuales

De Laplace

Revisión de 13:50 1 nov 2009

1 Enunciado

2 Solución

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES