Potencial de dos cargas puntuales

De Laplace

1 Enunciado

Halle el potencial creado por dos cargas $q 1$ , $- q 2$ situadas a una distancia $a$ una de la otra. Demuestre que la superficie equipotencial $V = 0$ es una esfera.

2 Solución

El potencial creado por estas dos cargas en cualquier punto del espacio es

$\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)$

La equipotencial V=0 vendrá dada por la ecuación

$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)=0$

No es evidente que ésta sea la ecuación de una esfera. Para ponerlo de manifiesto reescribimos la ecuación como

$\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2\right|=\gamma \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1\right|$ $\gamma=\frac{q_2}{q_1}$

Supondremos, sin pérdida de generalidad, que $γ < 1$ , esto es, que $q 2$ es la menor en magnitud de las dos cargas.

Podemos tomar el origen de coordenadas en la carga $q 1$ y el eje Z el que pasa por las dos cargas, de forma que $\mathbf{r}_2=a\mathbf{u}_z$ . Expresando el vector de posición en cartesianas esta ecuación queda

$\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}=\gamma \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Elevando al cuadrado y agrupando términos

$\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1-\gamma^2\right)-2za + a^2 = 0$

Esta es ya claramente la ecuación de una esfera. Para identificar su radio y la posición del centro, despejamos y competamos cuadrados

$x^2+y^2+z^2-2z\frac{a}{1-\gamma^2} + \frac{a^2}{1-\gamma^2} = 0$ $x^2+y^2+\left(z-\frac{a}{1-\gamma^2}\right)^2 = \frac{a^2}{(1-\gamma^2)^2}-\frac{a^2}{1-\gamma^2}=\frac{a^2\gamma^2}{(1-\gamma^2)^2}$