Energía de esferas concéntricas
De Laplace
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Revisión de 14:01 19 nov 2008
Contenido |
1 Enunciado
Calcule la energía electrostática almacenada en un sistema de dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b, cargadas, respectivamente con cargas + Q y − Q, distribuidas uniformemente.
¿Se verifica el principio de superposición, esto es, es la energía de las dos esferas la suma de las energías de cada esfera por separado?
2 Solución
2.1 Energía de una superficie esférica
La energía electrostática de una distribución de carga superficial viene dada por
siendo 
el potencial en los puntos en que se encuentran las cargas. En el caso de una superficie esférica cargada uniformemente, el potencial que crea en todos los puntos del espacio, tal como se ve en otro problema es
En los puntos de la superficie esférica r = a vale tanto la expresión interior como la exterior por ser el potencial una función continua
y por ello la energía electrostática almacenada por la esfera es
dado que el potencial tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie, puede salir de la integral. El resultado es una función cuadrática de la carga. Esto quiere decir que, tanto si la superficie esférica esta cargada positivamente, como si lo está negativamente, la energía es siempre positiva.
2.2 Energía de dos esferas concéntricas
Para dos superficies esféricas la energía será de la forma
donde el potencial que aparece en cada integral es el total de la distribución (esto es, incluye tanto la contribución de la propia esfera como la de la otra). Obtenemos este potencial por el principio de superposición
Sumando, resultan tres regiones,
Los potenciales a los que se encuentran las superficies son, respectivamente:
φ(r = b) = 0y la energía electrostática almacenada
