Clasificación de movimientos de un sólido
De Laplace
(→Caso I) |
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| Línea 92: | Línea 92: | ||
En los tres casos se satisface la condición. Por tanto, este es un posible movimiento de un sólido rígido. | En los tres casos se satisface la condición. Por tanto, este es un posible movimiento de un sólido rígido. | ||
| - | == | + | Las tres velocidades no son iguales. Por tanto, no se trata de un movimiento de traslación. |
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| + | No hay dos iguales, ni ninguna es nula, por lo que aun no podemos decir nada sobre el tipo de movimiento. | ||
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| + | Recurrimos entonces al teorema de Chasles. Suponemos una velocidad angular genérica | ||
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| + | <center><math>\vec{\omega}=\omega_x\vec{\imath}+\omega_y\vec{\jmath}+\omega_z\vec{k}</math></center> | ||
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| + | y la aplicamos a la relación entre las velocidades de A y B | ||
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| + | <center><math>\vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\left(\vec{r}_B-\vec{r}_A\right)</math></center> | ||
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| + | nos queda | ||
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| + | <center><math>-\vec{\imath}+\vec{k}=\vec{\jmath}-\vec{k}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ -10 & 10 & 0 \end{matrix}\right| = \left(-10\omega_z\right)\vec{\imath}+\left(1-10\omega_z\right)\vec{\jmath}+\left(-1+10\omega_x+10\omega_y\right)\vec{k}</math></center> | ||
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| + | Igualando componente a componente llegamos al sistema de ecuaciones | ||
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| + | <center><math>-1 = -10\omega_z\qquad\qquad 0 = 1-10\omega_z \qquad\qquad 1 = -1 + 10\omega_x+10\omega_y</math></center> | ||
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| + | que nos dice que | ||
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| + | <center><math>\omega_z = \frac{1}{10}\qquad\qquad \omega_x+\omega_y = \frac{1}{5}</math></center> | ||
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| + | Aun no tenemos las tres componentes, porque para determinar completamente el movimiento de un sólido necesitamos las velocidades de tres puntos no alineados. Aplicando de nuevo el teorema de Chasles al par AC | ||
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| + | <center><math>\vec{v}_C=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\left(\vec{r}_C-\vec{r}_A\right)</math></center> | ||
| + | |||
| + | nos queda | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}=\vec{\jmath}-\vec{k}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ -10 & 0 & 10 \end{matrix}\right| = \left(-10\omega_z\right)\vec{\imath}+\left(1-10\omega_z\right)\vec{\jmath}+\left(-1+10\omega_x+10\omega_y\right)\vec{k}</math></center> | ||
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| + | Igualando y despejando llegamos a | ||
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| + | <center><math>\omega_y = \frac{1}{10}\qquad\qqua \omega_x+\omega_z=\frac{1}{5}</math></center> | ||
| + | |||
| + | que con las ecuaciones anteriores nos dan la velocidad angular completa | ||
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| + | <center><math>\omega_x=\omega_y=\omega_z=\frac{1}{10}\qquad\qquad \vec{\omega}=\frac{1}{10}\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\right)</math></center> | ||
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| + | ==Caso II== | ||
==Caso III== | ==Caso III== | ||
==Caso IV== | ==Caso IV== | ||
Revisión de 12:53 13 ene 2013
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene un sólido formado por ocho masas iguales, 
, situadas en los vértices de un cubo de lado 
. En un instante dado, una de ellas se encuentra en el origen de coordenadas y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas.
Considere los casos siguientes para las velocidades de las masas situadas en 
, 
y 
| Caso |  (cm/s)
|  (cm/s)
|  (cm/s)
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|---|---|---|---|
| I | 
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| II | 
| 
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| III |
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| IV |
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| V | 
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| VI | 
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- Identifique cuáles de las situaciones anteriores son compatibles con la condición de rigidez.
- Para las que sí lo son, identifique si se trata de un movimiento de traslación pura, rotación pura o helicoidal.
- Para las rotaciones y movimientos helicoidales, determine la posición del EIR o EIRMD.
2 Introducción
Para cada uno de los casos, el procedimiento es el siguiente:
- Se comprueba si verifican la condición cinemática de rigidez, de forma que para cada par de puntos
- Si no se cumple, ya hemos acabado.
- Si mira si las velocidades de los tres puntos son iguales. Si lo son, el movimiento es una traslación con dicha velocidad. En particular, si hay tres puntos no alineados con velocidad nula, el estado es de reposo.
- Si no ocurre lo anterior, pero uno de los puntos tiene velocidad nula, el movimiento es una rotación alrededor de un eje que pasa por este punto. La velocidad angular se saca de la velocidad de los otros puntos.
- Si dos puntos tienen la misma velocidad y el tercero no, el EIRMD (o EIR en su caso) apunta en la dirección de la recta que pasa por los dos puntos. De aquí se saca la velocidad de deslizamiento y de la velocidad del tercer punto la velocidad angular.
- Si no se aplica nada de lo anterior, hay que recurrir a la expresión del teorema de Chasles
- para hallar el vector ω.
- El EIR o EIRMD, si no se ha localizado previamente, se determina empleando la fórmula
- que nos da la posición de los puntos del eje respecto al punto A.
3 Caso I
Comprobamos la condición cinemática de rigidez. Tenemos que, midiendo las distancias en cm y las velocidades en cm/s
Comprobamos en primer lugar la condición de rigidez. Para el par AB
Para el AC
Para el BC
En los tres casos se satisface la condición. Por tanto, este es un posible movimiento de un sólido rígido.
Las tres velocidades no son iguales. Por tanto, no se trata de un movimiento de traslación.
No hay dos iguales, ni ninguna es nula, por lo que aun no podemos decir nada sobre el tipo de movimiento.
Recurrimos entonces al teorema de Chasles. Suponemos una velocidad angular genérica
y la aplicamos a la relación entre las velocidades de A y B
nos queda
Igualando componente a componente llegamos al sistema de ecuaciones
que nos dice que
Aun no tenemos las tres componentes, porque para determinar completamente el movimiento de un sólido necesitamos las velocidades de tres puntos no alineados. Aplicando de nuevo el teorema de Chasles al par AC
nos queda
Igualando y despejando llegamos a
que con las ecuaciones anteriores nos dan la velocidad angular completa
