Electrostática en presencia de conductores
De Laplace
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Revisión de 13:38 31 mar 2009
1 UNIQ73658bd542da38cf-h-0--QINUEquilibrio electrostático
La propiedad definitoria de un material conductor es que permite el movimiento de las cargas en su interior. Cuando un conductor se ve sometido a un campo eléctrico, las cargas se redistribuyen hasta que se alcanza el equilibrio electrostático, en el cual las cargas se encuentran en reposo.
La condición de reposo implica que la fuerza neta sobre cada carga es nula. Puesto que la fuerza sobre las cargas en reposo es una fuerza eléctrica, la condición de equilibrio implica que en el material conductor
2 UNIQ73658bd542da38cf-h-1--QINUPropiedades de los conductores en equilibrio
Como consecuencia de la condición de equilibrio electrostático
- El material conductor es equipotencial.
- No hay densidad de carga de volumen en el material.
- Toda la carga está almacenada en las superficies del conductor.
- No hay líneas de campo que vayan de un conductor a él mismo.
- El campo justo en el exterior de la superficie es de la forma
3 UNIQ73658bd542da38cf-h-2--QINUProblema del potencial
Si tenemos un conjunto de conductores cuya carga o cuyo potencial es conocido, además de una cierta distribución de carga volumétrica en el espacio entre ellos, el problema del potencial consiste en resolver la ecuación de Poisson
en el espacio UNIQ73658bd542da38cf-math-00000003-QINU entre los conductores, con las condiciones de contorno
siendo UNIQ73658bd542da38cf-math-00000006-QINU la superficie del conductor UNIQ73658bd542da38cf-math-00000007-QINU. Para aquellos conductores cuyo potencial no se conozca, sus valores pueden obtenerse de las condiciones
siendo UNIQ73658bd542da38cf-math-00000009-QINU una superficie que envuelve al conductor UNIQ73658bd542da38cf-math-0000000A-QINU.
La solución del problema del potencial puede escribirse como una superposición
siendo UNIQ73658bd542da38cf-math-0000000C-QINU el potencial que habría si la densidad de carga estuviera presente pero los conductores estuvieran a tierra
y UNIQ73658bd542da38cf-math-00000011-QINU es el potencial supuesto que el conductor UNIQ73658bd542da38cf-math-00000012-QINU está a potencial unidad y el resto a tierra
4 UNIQ73658bd542da38cf-h-3--QINUCoeficientes de capacidad
Si no hay densidad de carga volumétrica, las cargas almacenadas en los distintos conductores forman una combinación lineal de los potenciales respectivos
siendo los UNIQ73658bd542da38cf-math-0000001A-QINU los coeficientes de capacidad.
Estas relaciones pueden expresarse en forma matricial
siendo UNIQ73658bd542da38cf-math-0000001C-QINU y UNIQ73658bd542da38cf-math-0000001D-QINU dos vectores columna y UNIQ73658bd542da38cf-math-0000001E-QINU una matriz cuadrada simétrica y definida positiva.
Los coeficientes de capacidad verifican
4.1 UNIQ73658bd542da38cf-h-4--QINUCapacidad de un conductor
En el caso particular de un solo conductor, la expresión se reduce a
con UNIQ73658bd542da38cf-math-00000023-QINU la capacidad del conductor, medida en faradios (F). Como caso particular, para una esfera de radio UNIQ73658bd542da38cf-math-00000024-QINU
5 UNIQ73658bd542da38cf-h-5--QINUCondensadores y circuitos equivalentes
5.1 UNIQ73658bd542da38cf-h-6--QINUCapacidad de un condensador
Dos superficies conductoras están en influencia total si todas las líneas de campo que parten de una van a parar a la otra, para valores arbitrarios de los potenciales. En este caso, las superficies forman un \emph{condensador}. La carga almacenada en cada una cumple
siendo UNIQ73658bd542da38cf-math-00000028-QINU la capacidad del condensador. Como casos particulares tenemos el condensador de placas planas y paralelas, el condensador cilíndrico coaxial de radios UNIQ73658bd542da38cf-math-00000029-QINU y UNIQ73658bd542da38cf-math-0000002A-QINU y el condensador esférico de radios UNIQ73658bd542da38cf-math-0000002B-QINU y UNIQ73658bd542da38cf-math-0000002C-QINU, con capacidades respectivas
Para otros sistemas deberá resolverse la ecuación de Laplace en el espacio entre las superficies, con las condiciones de que en una de ellas el potencial valga UNIQ73658bd542da38cf-math-00000030-QINU y en la otra sea nulo, y calcular la carga en la placa a mayor tensión.
5.2 UNIQ73658bd542da38cf-h-7--QINUCircuitos equivalentes
Todo sistema de UNIQ73658bd542da38cf-math-00000031-QINU conductores en equilibrio puede modelarse por un circuito equivalente de UNIQ73658bd542da38cf-math-00000032-QINU condensadores. Cada conductor es representado por un nodo del circuito. Entre cada dos nodos existe un condensador de capacidad
Este condensador estará ausente si los conductores UNIQ73658bd542da38cf-math-00000035-QINU e UNIQ73658bd542da38cf-math-00000036-QINU están apantallados por algún otro y no son conectados por ninguna línea de campo.
Además, para representar aquellas líneas de campo que pueden ir de cada conductor hasta el infinito, existen UNIQ73658bd542da38cf-math-00000037-QINU condensadores adicionales, cada uno situado entre un nodo y tierra. La capacidad (autocapacidad) del condensador conectado al nodo UNIQ73658bd542da38cf-math-00000038-QINU vale
Conocida la matriz de los coeficientes de capacidad pueden calcularse las UNIQ73658bd542da38cf-math-0000003A-QINU capacidades y las UNIQ73658bd542da38cf-math-0000003B-QINU autocapacidades, y viceversa.
Además de estos condensadores, habrá que incluir una fuente de tensión continua conectada a cada nodo cuyo potencial esté fijado. Si la cantidad fijada es la carga del conductor, debe suponerse conectada a un “generador de carga”, que simplemente expresaría que la carga total almacenada en todos los condensadores conectados a dicho nodo es un valor dado y no nula. Si el elemento está aislado y descargado (UNIQ73658bd542da38cf-math-0000003C-QINU y potencial desconocido) este elemento puede suprimirse.
6 UNIQ73658bd542da38cf-h-8--QINUMétodo de las imágenes
7 UNIQ73658bd542da38cf-h-9--QINUMétodos numéricos
8 UNIQ73658bd542da38cf-h-10--QINUEnergía de un sistema de conductores
Dado un sistema de $N$ conductores, sin carga entre ellos, la energía almacenada en el sistema puede expresarse como
Si además de los conductores tenemos cargas de volumen o puntuales en el espacio entre ellos, habrá que añadir los correspondientes términos
donde UNIQ73658bd542da38cf-math-0000003F-QINU es el potencial total en cada punto y UNIQ73658bd542da38cf-math-00000040-QINU es el potencial total exceptuando la contribución debida a la propia carga puntual.
9 UNIQ73658bd542da38cf-h-11--QINUPresión sobre la superficie de los conductores
El cálculo de las fuerzas entre conductores puede realizarse a partir de la presión electrostática sobre ellos. Debido a la repulsión eléctrica, en cada punto de la superficie del conductor existe una presión dada por
siendo la fuerza elemental sobre cada punto de la superficie
esto es, siempre normal y hacia afuera del conductor.
