Vuelco de un camión

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 21:19 15 ene 2012

1 Enunciado

Un camión de mudanzas va cargado de forma que su centro de gravedad se encuentra a 3 m del suelo. Si la distancia entre ruedas del camión es de 2.40 m, ¿cuál es la máxima velocidad con la que puede tomar una rotonda de 20 m de radio sin volcar?

2 Solución

En este estudio se va a tratar el problema del vuelco en una situación dinámica, usando un modelo muy simplificado del problema. Una versión realista debería tener en cuenta efectos como la suspensión del camión, los sistemas de control de que dispone y el que un camión no es un único sólido rígido, sino un conjunto de ellos.

Modelaremos el camión como un bloque de anchura $b = 2.4\,\mathrm{m}$ tal que su CM se encuentra situado en un punto intermedio entre las dos ruedas y a una altura $h = 3.0\,\mathrm{m}$ (la altura real del camión es irrelevante).

Cuando el camión toma una curva, adquiere una aceleración normal, radial y hacia adentro. Según la segunda ley de Newton, debe haber una fuerza radial y hacia adentro causante de esta aceleración. Esta fuerza es la que ejerce el suelo de la carretera sobre las ruedas del camión (a su vez reacción de la que las ruedas ejercen sobre el suelo).

Considerando solo una sección del sólido, podemos describirlo como sometido a tres fuerzas:

Su peso, $M\vec{g}$
La fuerza de reacción sobre las ruedas interiores $\vec{F}_1$
La fuerza de reacción sobre las ruedas exteriores $\vec{F}_2$

Las fuerzas sobre las ruedas se componen de una parte normal y hacia arriba, y de una tangente, radial y hacia adentro. Esta última es debida al rozamiento lateral. Puesto que este es usualmente muy intenso para un neumático, podemos suponer que la fuerza de rozamiento puede alcanzar el valor que sea necesario.

La ecuación para el movimiento del centro de masas nos da

$M\vec{g}+\vec{F}_1+\vec{F}_2 = M\vec{a}_C$

Suponiendo un sistema de ejes centrado en el punto de contacto de la rueda exterior con el suelo, con el eje Z en la vertical y el eje X radial y hacia afuera de la rotonda, esta ecuación vectorial se descompone en

$\left\{\begin{array}{rcl}-F_{1x} - F_{2x} & = & \displaystyle -M\frac{v^2}{R} \\ && \\ F_{1z}+F_{2z}-Mg & = & 0 \end{array}\right.$

En esta expresión $R$ es el radio de giro del CM del camión. Suponemos que en los 20m ya va incluida la mitad de la anchura del camión.

A esta ecuación debemos añadir la ecuación para el momento de las fuerzas

$\vec{M}_O = M\vec{r}_C\times\vec{a}_C + \frac{\mathrm{d}\vec{L}'}{\mathrm{d}t}$

El último término representa el giro del camión alrededor de sí mismo. En este modelo sencillo podemos suponer que este término es despreciable y que el movimiento del camión es esencialmente uno de traslación. Según esto

$\vec{M}_O \simeq M\vec{r}_C\times\vec{a}_C$

El primer miembro es el momento resultante respecto al punto O

$\vec{M}_O = \left(-\frac{b}{2}\vec{\imath}+h\vec{k}\right)\times\left(-Mg\vec{k}\right)+\left(-b\vec{\imath}\right)\times\left(-F_{1x}\vec{\imath}+F_{1z}\vec{k}\right)+\vec{0}\times\left(-F_{2x}\vec{\imath}+F_{2z}\vec{k}\right) = \left(-\frac{Mgb}{2}+bF_{1z}\right)\vec{\jmath}$

El segundo miembro es igual a

$M\vec{r}_C\times\vec{a}_C = M\left(-\frac{b}{2}\vec{\imath}+h\vec{k}\right)\times\left(-\frac{v^2}{R}\vec{\imath}\right) = -\frac{Mhv^2}{R}\vec{\jmath}$

Igualando las dos expresiones obtenemos la ecuación

$-\frac{Mgb}{2}+bF_{1z} = -\frac{Mhv^2}{R}$

de la cual hallamos

$F_{1z}= \frac{Mg}{2}-\frac{Mh v^2}{Rb}$

El vínculo que ejerce el suelo sobre las ruedas es unilateral. Las ruedas están apoyadas en el suelo, pero no pegadas a él. Por ello, $F 1 z$ debe ser siempre positivo. Si en la ecuación anterior se hiciera negativo querría decir que el suelo no es capaz de retener al camión y éste vuelca.

Esto nos da la condición para la velocidad máxima

$v\leq \sqrt{\frac{gRb}{2h}}$

Nótese que, en realidad, no nos hace falta ni la ecuación para la aceleración del CM. Con la del momento alrededor de un punto adecuado nos basta.

El resultado nos informa de que cuanto mayor sea la altura del CM menor debe ser la velocidad máxima si no desea que vuelque (dicho de otra forma, que hay que bajar el CM para evitar el vuelco). Una mayor anchura de ejes, en cambio, estabiliza el camión. También aumenta la velocidad máxima si la rotonda tiene gran radio. El resultado es independiente de la masa del camión (esto se podía haber deducido por análisis dimensional).

Para los datos del enunciado, esta velocidad máxima es

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): v_\mathrm{mnax}=\sqrt{\frac{9.81\cdot 20\cdot 2.40}{2\cdot 3.0}\simeq 9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= 32\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}

El resultado es una velocidad muy reducida para lo habitual en el tráfico. En realidad, existe un margen mayor gracias a los sistemas de control de estabilidad de los vehículos). Hay que destacar que si la altura del CM se baja a 1m, esta velocidad límite supera los 55km/h.

@@ Línea 37: / Línea 37: @@
 El primer miembro es el momento resultante respecto al punto O
-<center><math>\vec{M}_O = \left(-\frac{b}{2}\vec{\imath}+h\vec{k}\right)\times\left(-Mg\vec{k}\right)+\left(-b\vec{\imath}\right)\times(-F_{1x}\vec{\imath}+F_{1z}\vec{k}\right)+\vec{0}\times(-F_{2x}\vec{\imath}+F_{2z}\vec{k}\right) = \left(-\frac{Mgb}{2}+bF_{1z}\right)\vec{\jmath}</math></center>
+<center><math>\vec{M}_O = \left(-\frac{b}{2}\vec{\imath}+h\vec{k}\right)\times\left(-Mg\vec{k}\right)+\left(-b\vec{\imath}\right)\times\left(-F_{1x}\vec{\imath}+F_{1z}\vec{k}\right)+\vec{0}\times\left(-F_{2x}\vec{\imath}+F_{2z}\vec{k}\right) = \left(-\frac{Mgb}{2}+bF_{1z}\right)\vec{\jmath}</math></center>
+El segundo miembro es igual a
+<center><math>M\vec{r}_C\times\vec{a}_C = M\left(-\frac{b}{2}\vec{\imath}+h\vec{k}\right)\times\left(-\frac{v^2}{R}\vec{\imath}\right) = -\frac{Mhv^2}{R}\vec{\jmath}</math></center>
+Igualando las dos expresiones obtenemos la ecuación
+<center><math>-\frac{Mgb}{2}+bF_{1z} = -\frac{Mhv^2}{R}</math></center>
+de la cual hallamos
+<center><math>F_{1z}= \frac{Mg}{2}-\frac{Mh v^2}{Rb}</math></center>
+El vínculo que ejerce el suelo sobre las ruedas es unilateral. Las ruedas están apoyadas en el suelo, pero no pegadas a él. Por ello, <math>F_{1z}</math> debe ser siempre positivo. Si en la ecuación anterior se hiciera negativo querría decir que el suelo no es capaz de retener al camión y éste vuelca.
+Esto nos da la condición para la velocidad máxima
+<center><math>v\leq \sqrt{\frac{gRb}{2h}}</math></center>
+Nótese que, en realidad, no nos hace falta ni la ecuación para la aceleración del CM. Con la del momento alrededor de un punto adecuado nos basta.
+El resultado nos informa de que cuanto mayor sea la altura del CM menor debe ser la velocidad máxima si no desea que vuelque (dicho de otra forma, que hay que bajar el CM para evitar el vuelco). Una mayor anchura de ejes, en cambio, estabiliza el camión. También aumenta la velocidad máxima si la rotonda tiene gran radio. El resultado es independiente de la masa del camión (esto se podía haber deducido por análisis dimensional).
+Para los datos del enunciado, esta velocidad máxima es
+<center><math>v_\mathrm{mnax}=\sqrt{\frac{9.81\cdot 20\cdot 2.40}{2\cdot 3.0}\simeq 9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= 32\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math></center>
+El resultado es una velocidad muy reducida para lo habitual en el tráfico. En realidad, existe un margen mayor gracias a los sistemas de control de estabilidad de los vehículos). Hay que destacar que si la altura del CM se baja a 1m, esta velocidad límite supera los 55km/h.
 [[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (GIE)]]

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