Propiedades dinámicas de un sólido rígido
De Laplace
(→Cantidad de movimiento) |
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==Momento cinético== | ==Momento cinético== | ||
| + | El momento cinético del sólido equivale a la suma de los momentos cinéticos de cada una de las partículas que lo componen | ||
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| + | <center><math>\vec{L}_O=m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2 + \cdots</math></center> | ||
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| + | Este momento cinético puede descomponerse en una parte debida al movimiento con el centro de masas más otra debida al movimiento alrededor del centro de masas | ||
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| + | <center><math>\vec{L}_O=M\vec{r}_c\times\vec{v}_c + \vec{L}'</math></center> | ||
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| + | <center><math>\vec{L}' = m_1\vec{r}^{\,,}_1\times\vec{v}^{\,,}_1+m_1\vec{r}^{\,,}_2\times\vec{v}^{\,,}_2</math></center> | ||
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| + | Si aquí sustituimos la expresión del campo de velocidades de un sólido, | ||
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| + | <center><math>\vec{v}_i = \vec{v}_c + \vec{\omega}\times(\vec{r}_i-\vec{r}_c)\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^{\,,}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i^{\,,}</math></center> | ||
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| + | nos queda | ||
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| + | <center><math>\vec{L}' = m_1\vec{r}^{\,,}_1\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_1^{\,,})+m_1\vec{r}^{\,,}_2\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_1^{\,,})</math></center> | ||
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| + | Debido al doble producto vectorial, esta expresión es bastante más compleja que la de la cantidad de movimiento, por lo que solo consideraremos los casos más sencillos. | ||
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==Momento de inercia== | ==Momento de inercia== | ||
==Energía cinética== | ==Energía cinética== | ||
==Energía potencial== | ==Energía potencial== | ||
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Revisión de 20:46 27 dic 2011
Contenido |
1 Introducción
A la hora de establecer las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido se debe, en primer lugar, definir qué magnitudes lo caracterizan, para poder escribir correctamente las ecuaciones de evolución.
2 Masa
En cinemática del sólido rígido no es necesario considerar la extensión real del sólido. Puede describirse el campo de velocidades suponiendo que se extiende a todos los puntos del espacio tanto interiores como exteriores al sólido, sin importar si en estos puntos existe una partícula material o no.
En dinámica, en cambio, sí es importante considerar la extensión finita del sólido. Un sólido real ocupa un volumen V que por definición es indeformable (aunque puede trasladarse y rotar en el espacio). En este volumen existe una serie de partículas, con masas mi de forma que el sólido posee una masa total
Para la mayoría de los sólidos, no obstante, es preferible modelarlos como un continuo que llena toda una región del espacio. En cada elemento de volumen dV existe una pequeña cantidad de sólido relacionada con el volumen a través de la densidad de masa
En un sólido homogéneo la densidad de masa es la misma en todos sus puntos y
Así para sólidos homogéneos de formas:
- Paralelepípedo:
- Cilindro
- Esfera
En ocasiones puede suponerse que un sólido se reduce a una fina lámina. Se define entonces la densidad superficial de masa, σ,
que, para el caso de un sólido homogéneo nos da
Así, por ejemplo, para una hoja tamaño A4 de 80 g/m² su masa es
Aplicando las fórmulas del área de una superficie cilíndrica o esférica obtenemos las masas
3 Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento de un sólido es igual a la suma de la cantidad de movimiento de cada una de las partículas que lo componen
Por tratarse de un sólido, estas velocidades verifican el teorema de Chasles
lo cual, al sustituir en la expresión de la cantidad de movimiento nos da
El primero de los dos paréntesis es la masa total del sólido, mientras que el segundo nos da la posición del centro de masas
Por otro lado, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas se relaciona con la velocidad del centro de masas
Igualando ambas expresiones obtenemos la velocidad del centro de masas del sólido
Esta igualdad simplemente nos dice que el centro de masas se mueve rígidamente con el sólido estando siempre en la misma posición relativa a éste (aunque el CM puede no coincidir con ninguna de las partículas del sólido, se mueve como una más de ellas).
4 Momento cinético
El momento cinético del sólido equivale a la suma de los momentos cinéticos de cada una de las partículas que lo componen
Este momento cinético puede descomponerse en una parte debida al movimiento con el centro de masas más otra debida al movimiento alrededor del centro de masas
siendo
Si aquí sustituimos la expresión del campo de velocidades de un sólido,
nos queda
Debido al doble producto vectorial, esta expresión es bastante más compleja que la de la cantidad de movimiento, por lo que solo consideraremos los casos más sencillos.
