Doble máquina de Atwood

De Laplace

Revisión de 17:53 24 nov 2011

1 Enunciado

La doble máquina de Atwood de la figura está formada por tres masas unidas a través de dos cuerdas ideales (inextensibles y sin masa) y dos poleas también ideales (de masa despreciable y sin rozamiento). Determine la aceleración de cada una de las masas, así como las tensiones de las dos cuerdas.

2 Solución

Considerando los diagramas de cuerpo libre, tenemos lo siguiente:

Sobre la masa m₁ actúa la tensión de la cuerda y su peso, por lo que

dado que todas las fuerzas y aceleraciones en este problema son verticales, podemos usar cantidades escalares y escribir

Para la masa 2 tenemos, de manera análoga

y para la 3

Por el hecho de tratarse de cuerdas ideales, inextensibles y sin masa, la tensión en la cuerda que ata las masas 2 y 3 es la misma en todos sus puntos, por lo que

Ahora bien, ¿cómo se relacionan estas dos tensiones con T₁, la tensión de la otra cuerda. Para obtenerlo escribimos la ecuación de movimiento para esta polea, para la que suponemos provisionalmente una masa m₀. Sobre esta polea actúan tres tensiones además del peso, siendo una de ellas igual a la que actúa sobre la masa 1.

Al ser una polea ideal, su masa es nula, por lo que nos queda la relación de equilibrio

Las cuerdas son inextensibles, lo que permite relacionar las aceleraciones. En este caso no es cierto que la aceleración con la que sube m₂ sea la misma que con la que baja m₃ ya que ambas penden de un punto que también se mueve aceleradamente.

Si la polea superior se encuentra a una altura H respecto al suelo, las masas se encuentran a alturas z₁, z₂ y z₃ respectivamente, y la polea pequeña a una altura z_0, la longitud de la cuerda que la une con la masa 1 es

Derivando esta ecuación dos veces respecto al tiempo

Por su parte la longitud de la cuerda que pasa por la polea pequeña vale

que tras derivar nos da

Ya tenemos información suficiente para hallar las aceleraciones. Tenemos el sistema

Despejando y sustituyendo llegamos a los resultados