Movimiento oscilatorio circular

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 18:33 13 nov 2011

Contenido

1 Enunciado
2 Aceleración angular
3 Velocidad lineal
4 Velocidad y aceleración

1 Enunciado

Una partícula se mueve sobre la circunferencia, expresada en polares y en el SI, $\rho = 1.00\,\mathrm{m}$ , siguiendo la ley horaria

$\varphi = \pi \cos(\pi t)\qquad \forall t$

con $\varphi$ el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX positivo.

Determine la aceleración angular en $t = (1 / 3)s$
Halle la velocidad lineal cuando pasa por $\varphi=0$
Indique cuál de las siguientes cuatro figuras corresponde a la velocidad y la aceleración en $t = (1 / 3)s$

2 Aceleración angular

En el caso de un movimiento circular en el plano XY con centro el origen de coordenadas, la aceleración angular es un vector en la dirección del eje OZ y cuya componente vertical es igual a la segunda derivada del ángulo $\varphi$ respecto al tiempo

$\vec{\alpha}=\ddot{\varphi}\vec{k}$

En este caso

$\vec{\omega} = \dot{\varphi}\vec{k}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)\vec{k}\qquad\qquad \vec{\alpha} = -\pi^3\cos(\pi t)\vec{k}$

En $t = (1 / 3)s$ , su valor es

$\vec{\alpha}(t=1/3) = \left(-\pi^3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-\frac{\pi^3}{2}\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-15.5\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}$

3 Velocidad lineal

La velocidad lineal en un movimiento circular la podemos calcular a partir de la velocidad angular y el vector de posición

$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}$

Cuando la partícula pasa por $\varphi=0$ su posición es

$\vec{r}=R\vec{\imath}$

por lo que

$\vec{v}=\omega R\vec{\jmath}$

La velocidad lineal, que es siempre tangente a la trayectoria, va en la dirección paralela al eje Y para este punto. No obstante, podría ser nula, por lo que debemos calcular el valor de la velocidad angular.

$\omega = \dot{\varphi}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)$

La partícula pasa por $\varphi=0$ cuando

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \pi\cos(\pi t) = 0 \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{1}\pi}\arccos(0) = \left(\frac{\pi/2+ n\pi}{\pi}\right)\mathrm{s}=\left(\frac{1}{2}+n\right)\mathrm{s}

Para estos instantes

$\omega = -\pi^2\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=\pm \pi^2\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

El signo depende del valor de $n$ . Si n es par es negativo, y positivo si es impar. De aquí nos quedan los valores para la velocidad

\vec{v}=\left(\pm \pi^2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= \left(\pm 9.87\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Este resultado se puede visualizar observando que el movimiento que realiza la partícula es oscilatorio en la coordenada $\varphi$ , esto es, es análogo a un movimiento armónico simple, pero sobre una circunferencia en lugar de en línea recta. El punto $\varphi=0$ corresponde al punto central de la oscilación, en el que la velocidad es máxima, pudiendo ir en un sentido o en el opuesto.

4 Velocidad y aceleración

@@ Línea 32: / Línea 32: @@
 ==Velocidad lineal==
+La velocidad lineal en un movimiento circular la podemos calcular a partir de la velocidad angular y el vector de posición
+<center><math>\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>
+Cuando la partícula pasa por <math>\varphi=0</math> su posición es
+<center><math>\vec{r}=R\vec{\imath}</math></center>
+por lo que
+<center><math>\vec{v}=\omega R\vec{\jmath}</math></center>
+La velocidad lineal, que es siempre tangente a la trayectoria, va en la dirección paralela al eje Y para este punto. No obstante, podría ser nula, por lo que debemos calcular el valor de la velocidad angular.
+<center><math>\omega = \dot{\varphi}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)</math></center>
+La partícula pasa por <math>\varphi=0</math> cuando
+<center><math>\pi\cos(\pi t) = 0 \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{1}\pi}\arccos(0) = \left(\frac{\pi/2+ n\pi}{\pi}\right)\mathrm{s}=\left(\frac{1}{2}+n\right)\mathrm{s}</math></center>
+Para estos instantes
+<center><math>\omega = -\pi^2\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=\pm \pi^2\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>
+El signo depende del valor de <math>n</math>. Si n es par es negativo, y positivo si es impar. De aquí nos quedan los valores para la velocidad
+\vec{v}=\left(\pm \pi^2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= \left(\pm 9.87\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
+[[Archivo:movimiento-circular-oscilatorio.gif|right]]
+Este resultado se puede visualizar observando que el movimiento que realiza la partícula es oscilatorio en la coordenada <math>\varphi</math>, esto es, es análogo a un movimiento armónico simple, pero sobre una circunferencia en lugar de en línea recta. El punto <math>\varphi=0</math> corresponde al punto central de la oscilación, en el que la velocidad es máxima, pudiendo ir en un sentido o en el opuesto.
 ==Velocidad y aceleración==
 [[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]]
 [[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)]]

Movimiento oscilatorio circular

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3 Velocidad lineal

4 Velocidad y aceleración

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