Ejemplo de integración numérica
De Laplace
(→Solución analítica) |
|||
| Línea 32: | Línea 32: | ||
<center><math>\Delta s = \left(\frac{1+4}{2}\cdot 1+\frac{4+7}{2}\cdot 3+\frac{7+8}{2}\cdot 3+\frac{8+8}{2}\cdot 2 + \frac{8+7}{2}\cdot 3+\frac{7+4}{2}\cdot 3+\frac{4+1}{2}\cdot 1\right)\,\mathrm{m} = 99\,\mathrm{m}</math></center> | <center><math>\Delta s = \left(\frac{1+4}{2}\cdot 1+\frac{4+7}{2}\cdot 3+\frac{7+8}{2}\cdot 3+\frac{8+8}{2}\cdot 2 + \frac{8+7}{2}\cdot 3+\frac{7+4}{2}\cdot 3+\frac{4+1}{2}\cdot 1\right)\,\mathrm{m} = 99\,\mathrm{m}</math></center> | ||
==Solución analítica== | ==Solución analítica== | ||
| + | Integrando analíticamente la función obtenemos | ||
| + | |||
| + | <center><math>\Delta s =\int_0^16 \sqrt{1+16t-t^2}\,\mathrm{d}t = \left(8 + 65\,\mathrm{arcsen}\left(\frac{8}{\sqrt{65}}\right)\right)\,\mathrm{m}\simeq 102\,\mathrm{m}</math></center> | ||
| + | |||
| + | siendo el error relativo cometido | ||
| + | |||
| + | <center><math>\epsilon=\left|\frac{99-102}{102}\right| \simeq 0.03 = 3\%</math></center> | ||
| + | |||
| + | esto es un error de solo un 3%, siendo los cálculos numéricos mucho más fáciles que los exactos. | ||
[[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)]] | [[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)]] | ||
Revisión de 17:03 4 oct 2011
1 Enunciado
Una partícula se mueve a lo largo de una recta, siendo su velocidad (en el SI) como función del tiempo, la dada por la gráfica
La partícula parte de s = 0.
- Aprovechando los puntos en que la curva cruza la cuadrícula, calcule aproximadamente la posición en que se encontrará la partícula en
.
- Calcule el valor exacto de esta posición, sabiendo que la ley para la velocidad es
- ¿Cuál es el error relativo cometido en el apartado anterior?
2 Solución numérica
Si conocemos la velocidad instantánea, podemos hallar el desplazamiento a base de sumar los desplazamientos diferenciales
Gráficamente, esto equivale a hallar el área bajo la curva de la velocidad frente al tiempo.
Examinando la figura, podemos ver que la curva corta la cuadrícula en los puntos de coordenadas enteras (en el SI) (0,1), (1,4), (4,7), (7,8), (9,8), (12,7), (15,4) y (16,1):
El área bajo la curva puede entonces ser aproximada por una suma de trapecios, siendo la fórmula para el área de cada uno
Aplicando esto a nuestro caso obtenemos el desplazamiento aproximado
3 Solución analítica
Integrando analíticamente la función obtenemos
siendo el error relativo cometido
esto es un error de solo un 3%, siendo los cálculos numéricos mucho más fáciles que los exactos.
