Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Disco cayendo Segunda Prueba de Control (G.I.A.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Enunciado)
(→Enunciado)
Línea 4: Línea 4:
#La velocidad <math>\vec{v}_{21}^B</math>.
#La velocidad <math>\vec{v}_{21}^B</math>.
#La acelaración <math>\vec{a}_{21}^B</math>.
#La acelaración <math>\vec{a}_{21}^B</math>.
 +
 +
== Solución ==
 +
 +
=== Velocidad angular ===
 +
El vector rotación angular es perpendicular al plano del dibujo. Por tanto
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{\jmath}_1
 +
</math>
 +
</center>
 +
Como el disco rueda sin deslizar sobre el hilo en el punto <math>A </math> tenemos
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{v}_{21}^A = \vec{0}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Además, siguiendo el enunciado la velocidad del punto <math>C </math> es
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{v}\,^C_{21} = -A\,t\,\vec{k}_1
 +
</math>
 +
</center>
 +
Usando la ecuación del campo de velocidades
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{rl}
 +
\vec{v}\,^C_{21} &= \vec{v}_{21}^A + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
 +
\\&\\
 +
&\vec{v}_{21}^A = \vec{0}
 +
\\&\\
 +
&\overrightarrow{AC} = R\,\vec{\imath}_1
 +
\\&\\
 +
&\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} = (\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1)\times(R\,\vec{\imath}_1)
 +
=-\omega_{21}R\,\vec{k}_1
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Comparando con la expresión anterior de <math>\vec{v}\,^C_{21} </math> tenemos
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{\omega}_{21} = \dfrac{A\,t}{R}\,\vec{\jmath}_1
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
=== Velocidad del punto B ===
 +
Utilizamos de nuevo la ecuación del campo de velocidades
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{rl}
 +
\vec{v}\,^B_{21} &= \vec{v}_{21}^C + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB}
 +
\\&\\
 +
&\vec{v}_{21}^C = -A\,t\,\vec{k}_1
 +
\\&\\
 +
&\overrightarrow{CB} = R\,\vec{k}_1
 +
\\&\\
 +
&\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB} = \left(\dfrac{A\,t}{R}\,\vec{\jmath}_1\right)\times(R\,\vec{k}_1)
 +
= A\,t\,\vec{\imath}_1
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
El resultado final es
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{v}\,^B_{21} = A\,t\,\vec{\imath}_1 -A\,t\,\vec{k}_1
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
=== Aceleración del punto B ===
 +
La velocidad del punto <math>C </math> obtenida en el apartado anterior es válida para todo instante de tiempo. Entonces
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{a}\,^B_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}\,^B_{21}}{\,\mathrm{d}t}\right|_1
 +
=
 +
-A\,\vec{k}_1
 +
</math>
 +
</center>
 +
Obtenemos la aceleración angular derivando la velocidad angular
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{\alpha}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1
 +
=
 +
\dfrac{A}{R}\,\vec{\jmath}_1
 +
</math>
 +
</center>
 +
Podemos calcular la aceleración del punto <math> B</math> usando la ecuación del campo de aceleraciones
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{rl}
 +
\vec{a}\,^B_{21} &= \vec{a}_{21}^C + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CB} +
 +
\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB})
 +
\\&\\
 +
&\vec{a}_{21}^C = -A\,\vec{k}_1
 +
\\&\\
 +
&\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CB} =\left(\dfrac{A}{R}\,\vec{\jmath}_1\right)\times(R\,\vec{k}_1) = A\,\vec{\imath}_1
 +
\\&\\
 +
&\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB)} =
 +
-\dfrac{A^2\,t^2}{R}\,\vec{k}_1
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
La aceleración pedida es
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{a}\,^B_{21} = A\,\vec{\imath}_1 - \left( A + \dfrac{A^2\,t^2}{R}\right)\,\vec{k}_1
 +
</math>
 +
</center>

Revisión de 17:18 21 dic 2010

Contenido

1 Enunciado

Un disco de radio R cae en dirección vertical rodando sin deslizar sobre una cuerda vertical. El módulo de la velocidad del centro del disco es |\vec{v}|(t) = A\,t, siendo A una constante. Calcula

  1. Velocidad angular del movimiento {21}.
  2. La velocidad \vec{v}_{21}^B.
  3. La acelaración \vec{a}_{21}^B.

2 Solución

2.1 Velocidad angular

El vector rotación angular es perpendicular al plano del dibujo. Por tanto

\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{\jmath}_1

Como el disco rueda sin deslizar sobre el hilo en el punto A tenemos

\vec{v}_{21}^A = \vec{0}

Además, siguiendo el enunciado la velocidad del punto C es

\vec{v}\,^C_{21} = -A\,t\,\vec{k}_1

Usando la ecuación del campo de velocidades

\begin{array}{rl} \vec{v}\,^C_{21} &= \vec{v}_{21}^A + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} \\&\\ &\vec{v}_{21}^A = \vec{0} \\&\\ &\overrightarrow{AC} = R\,\vec{\imath}_1 \\&\\ &\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} = (\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1)\times(R\,\vec{\imath}_1) =-\omega_{21}R\,\vec{k}_1 \end{array}

Comparando con la expresión anterior de \vec{v}\,^C_{21} tenemos

\vec{\omega}_{21} = \dfrac{A\,t}{R}\,\vec{\jmath}_1

2.2 Velocidad del punto B

Utilizamos de nuevo la ecuación del campo de velocidades

\begin{array}{rl} \vec{v}\,^B_{21} &= \vec{v}_{21}^C + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB} \\&\\ &\vec{v}_{21}^C = -A\,t\,\vec{k}_1 \\&\\ &\overrightarrow{CB} = R\,\vec{k}_1 \\&\\ &\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB} = \left(\dfrac{A\,t}{R}\,\vec{\jmath}_1\right)\times(R\,\vec{k}_1) = A\,t\,\vec{\imath}_1 \end{array}

El resultado final es

\vec{v}\,^B_{21} = A\,t\,\vec{\imath}_1 -A\,t\,\vec{k}_1

2.3 Aceleración del punto B

La velocidad del punto C obtenida en el apartado anterior es válida para todo instante de tiempo. Entonces

\vec{a}\,^B_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}\,^B_{21}}{\,\mathrm{d}t}\right|_1 = -A\,\vec{k}_1

Obtenemos la aceleración angular derivando la velocidad angular

\vec{\alpha}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \dfrac{A}{R}\,\vec{\jmath}_1

Podemos calcular la aceleración del punto B usando la ecuación del campo de aceleraciones

\begin{array}{rl} \vec{a}\,^B_{21} &= \vec{a}_{21}^C + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CB} + \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB}) \\&\\ &\vec{a}_{21}^C = -A\,\vec{k}_1 \\&\\ &\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CB} =\left(\dfrac{A}{R}\,\vec{\jmath}_1\right)\times(R\,\vec{k}_1) = A\,\vec{\imath}_1 \\&\\ &\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB)} = -\dfrac{A^2\,t^2}{R}\,\vec{k}_1 \end{array}

La aceleración pedida es

\vec{a}\,^B_{21} = A\,\vec{\imath}_1 - \left( A + \dfrac{A^2\,t^2}{R}\right)\,\vec{k}_1

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Disco_cayendo_Segunda_Prueba_de_Control_(G.I.A.)"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace