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5.10. Hélice de avión en rotación

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Reducción cinemática de {21})
(→Reducción cinemática de {21})
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Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto
Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto
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<center><math>v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \frac{(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)\cdot(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}= \frac{L\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}</math></center>
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<center><math>v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \frac{(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)\cdot(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}= \frac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}</math></center>
==Valores numéricos==
==Valores numéricos==
[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

Revisión de 20:47 8 dic 2010

Contenido

1 Enunciado

El avión (sólido “0”) de la figura se mueve de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio L. El módulo de la velocidad angular de este giro es constante y su módulo es |\vec{\omega}_{01}| = \Omega. Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es R, gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante |\vec{\omega}_{20}| = \omega. Se pide

  1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
  2. Aplicando la composición de velocidades, la velocidad \vec{v}^P_{21} y aceleración \vec{a}^P_{21} del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
  3. La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
  4. Calcule numéricamente v^P_{21} y a^P_{21} para los valores R = 1\,\mathrm{m}, L = 100\,\mathrm{m}, \omega = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} y \Omega = 1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}.
Archivo:helice-avion-rotacion.png

Nota: Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido “0” para resolver el problema.

2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

2.1 Movimiento de arrastre {01}

El movimiento de arrastre es una rotación alrededor del eje permanente OZ0 = OZ1. Si reducimos en un punto de este eje )por ejemplo, en O), tenemos una velocidad de deslizamiento nula y una velocidad angular constante

\{\vec{\omega}_{01},\vec{v}^O_{01}\}=\{\Omega\vec{k}_0,\vec{0}\}

El EIR de este movimiento es el propio eje OZ0.

2.2 Movimiento relativo {20}

El movimiento {20} es también una rotación pura alrededor de un eje fijo, que pasa por el centro de la hélice C. Reduciendo en este punto tenemos

\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{\omega\vec{\jmath}_0,\vec{0}\}

El EIR de este movimiento es uno paralelo a OY0 y que pasa por C.

3 Velocidad y aceleración de P

3.1 Velocidad absoluta de P

La velocidad absoluta de P es la suma de la relativa y la de arrastre

\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}+\vec{v}^P_{01}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AP}

Sustituyendo las velocidades angulares y los vectores de posición relativa queda

\vec{v}^P_{21}=(\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)+(\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)=\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0

3.2 Aceleración absoluta de P

Usando la ley de composición de velocidades

\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{a}^P_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}

donde los diferentes términos tienen el valor siguiente:

Aceleración de arrastre {01}
Es la de una rotación con velocidad angulkar constante en torno a un eje permanente
\vec{a}^P_{01}=\overbrace{\vec{a}^O_{01}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{01}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})= (\Omega\vec{k}_0)\times\left((\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)\right) =-L\Omega^2\vec{\imath}_0
Aceleración relativa {20}
Es la de otra rotación alrededor de un eje permanente con velocidad angular constante.
\vec{a}^P_{20}=\overbrace{\vec{a}^C_{20}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{20}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})= (\omega\vec{\jmath}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) =-R\omega^2\vec{k}_0
Término de Coriolis
Por último tenemos la contribución:
2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}=2(\Omega\vec{k}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) = 2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0

Sumando las tres contribuciones hallamos la aceleración absoluta

\vec{a}^P_{21}=-L\Omega^2\vec{\imath}_0+2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0

4 Reducción cinemática de {21}

El movimiento absoluto {21}, composición de dos rotaciones puras, no es una rotación pura.

La velocidad angular del movimiento absoluta es la suma de la de l relativo más el de arrastre

\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0

Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto

v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \frac{(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)\cdot(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}= \frac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}

5 Valores numéricos

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