Propulsión solar

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 14:41 21 feb 2010

Contenido

1 Introducción
2 Fundamentos
3 Colisión con un fotón
- 3.1 Absorción de un fotón
- 3.2 Reflexión de un fotón
4 Barco de vela solar
- 4.1 Descripción del problema
5 Vela reflectante
6 Vela absorbente

1 Introducción

2 Fundamentos

2.1 Partículas y cuadrivectores

La cantidad de movimiento energía de una partícula puede describirse por el cuadrivector

$\mathbf{P}=p^\mu=(\mathbf{p},E)$

donde la parte espacial es la cantidad de movimiento ordinaria, y la parte temporal es la energía de la partícula.

Este vector es proporcional cuadrivector velocidad

$\mathbf{P}=m\mathbf{V}=m(\gamma\mathbf{v},\gamma)\qquad\qquad\gamma = \frac{1}{1-v^2}$

dado que la velocidad es un cuadrivector de módulo unidad, el módulo del cuadrivector cantidad de movimiento es el cuadrado de la masa en reposo de la partícula.

$\mathbf{P}\cdot\mathbf{P}=p^\mu p_\mu = E^2 - |\mathbf{p}|^2 = m^2$

En este problema, en que todo ocurre en una sola dimensión, la parte espacial se reduce a una sola componente

$\mathbf{P}=p^\mu = (p,0,0,E)\,$

por lo que podemos prescindir de la segunda y la tercera y escribir simplemente

$\mathbf{P}=p^\mu = (p,E)\,$

con el módulo

$\mathbf{P}\cdot\mathbf{P}=p^\mu p_\mu = E^2-p^2 = m^2\,$

La cuadrivelocidad se reduce a

$\mathbf{V}=(\gamma\mathbf{v},\gamma)\,$

Introduciendo la celeridad $\phi\,$

$v=\tanh\phi\qquad\qquad \mathbf{V}=(\sinh\phi,\cosh\phi)$

2.2 Fotones

Los fotones individuales se pueden considerar como partículas de masa nula, por lo que el cuadrivector correspondiente será de la forma

$\mathbf{P}= (\mathbf{p},|\mathbf{p}|)\,$

que, en el caso unidimensional se reduce a

$\mathbf{P} = (p,|p|)\,$

De acuerdo con las relaciones de Einstein-de Broglie, la cantidad de movimiento y la energía de un fotón son proporcionales a su número de onda y a su frecuencia, respectivamente. En términos de los cuadrivectores

$\mathbf{P}= \hbar \mathbf{K}$ $\Rightarrow$ $(\mathbf{p},E) = \hbar(\mathbf{k},\omega)$

cumpliéndose la relación

$0 = \mathbf{K}\cdot\mathbf{K} = \omega^2 - |\mathbf{k}|^2\,$ $\Rightarrow$ $\omega = |\mathbf{k}|\,$

En el caso unidimensional, el cuadrivector número de onda será

$\mathbf{K} = (k,|k|)\,$

2.3 Transformaciones de Lorentz

Una transformación de Lorentz en la dirección del eje X es de la forma

$\mathbf{P}'=\mathsf{L}\cdot\mathbf{P}\qquad\qquad p'^\mu = L^\mu_\nu p^\nu$

con

$\mathsf{L}=L^\mu_\nu = \begin{pmatrix}\gamma & 0 & 0 & -\gamma v\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma v & 0 & 0 & \gamma\end{pmatrix}$ $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$

Esta matriz se puede escribir de forma alternativa introduciendo la celeridad del movimiento relativo

$v = \tanh\phi\qquad \gamma = \cosh\phi\qquad\gamma v = \sinh\phi$ $L^\mu_\nu = \begin{pmatrix}\cosh\phi & 0 & 0 & -\sinh\phi\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sinh\phi & 0 & 0 & \cosh\phi\end{pmatrix}$

Si consideramos un problema unidmensional, la matriz se reduce a una 2×2:

$L^\mu_\nu = \begin{pmatrix}\gamma & -\gamma v\\ -\gamma v & \gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh\phi & -\sinh\phi\\ -\sinh\phi & \cosh\phi\end{pmatrix}$

La transformación de Lorentz inversa corresponde a cambiar $v$ por $- v$ (o $\phi\,$ por $-\phi\,$ ).

2.4 Efecto Doppler

Si aplicamos la transformación de Lorentz a un fotón, obtenemos que el cuadrivector número de onda se transforma en

$\begin{pmatrix}k' \\ k'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v\\ -\gamma v & \gamma \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}k \\ k \end{pmatrix}$

esto es

$k' = \gamma k -\gamma v k = \frac{1-v}{\sqrt{1-v^2}}k = \sqrt{\frac{1-v}{1+v}}k$

o, en términos de la celeridad

$k' = \mathrm{e}^{-\phi}k\,$

El número de onda, y por tanto la frecuencia, se ven reducidos al observar el mismo fotón en un sistema que se aleja con velocidad v respecto al primero. Este es el corrimiento al rojo. Por supuesto, si el fotón va en sentido contrario al nuevo observador, lo que se aprecia es un aumento de la frecuencia, un corrimiento hacia el violeta.

3 Colisión con un fotón

En una colisión relativista siempre se conserva la cantidad de movimiento-energía, por lo que la ecuación básica que determina el resultado de una colisión es

$\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2=\mathbf{P}'_1+\mathbf{P}'_2\,$

La colisión con un fotón puede tratarse como una colisión entre dos partículas, una de ellas de masa nula.

3.1 Absorción de un fotón

En una colisión inelástica el blanco se comporta como un cuerpo negro y absorbe un fotón, resultando una nueva partícula de mayor masa.

El balance es

$\mathbf{p}_\gamma+\mathbf{P}=\mathbf{P}'$ $\Rightarrow$

p + P = P'

p + E = E'

La nueva masa de la partícula cumple

${m'}^2 = E'^2-p'^2\,=(E+p)^2-(P+p)^2 = m^2 + 2p(E-p)=m^2+2p m \mathrm{e}^{-\phi}$

Si al energía del fotón es muy pequeña comparada con la masa de la partícula, esto vale, aproximadamente

$m'\simeq m + p \mathrm{e}^{-\phi}$

El aumento de la masa es menor cuanto más rápido se mueva.

La nueva velocidad de la partícula resultante es

$v'=\frac{P+p}{E+p}$

Si queremos el incremento de velocidad

$\Delta v = v'-v = \frac{P+p}{E+p}-\frac{P}{E}=\frac{p(E-P)}{E(E+p)} = \frac{p m \mathrm{e}^{-\phi}}{E(E+p)}$

Si consideramos de nuevo pequeña la energía del fotón comparada con la de la partícula

$\Delta v \simeq \frac{p m \mathrm{e}^{-\phi}}{E^2} =\frac{p}{m}\,\frac{\mathrm{e}^{-\phi}}{\cosh^2\phi}$

3.2 Reflexión de un fotón

En una colisión elástica, se absorbe un fótón y se emite otro en el sentido contrario, manteniéndose la masa del blanco, por lo que tenemos las ecuaciones

$\mathbf{P}+\mathbf{p}=\mathbf{P}'+\mathbf{p}'\qquad\qquad\mathbf{P}'\cdot\mathbf{P}'=\mathbf{P}\cdot\mathbf{P}=m^2$

Despejando y hallando el módulo

$\mathbf{P}'=\mathbf{P}+\mathbf{p}-\mathbf{p}'\,$ $\Rightarrow$ $m^2 = m^2 + 0 + 0 +2\mathbf{P}\cdot\mathbf{p}-2\mathbf{p}\cdot(\mathbf{P}+\mathbf{p})º,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{p}\cdot(\mathbf{P}+\mathbf{p})=\mathbf{P}\cdot\mathbf{p}$

Escribiendo los momentos de los fotones incidente y reflejado como

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \mathfb{p}=(p,p)\qquad\qquad\mathbf{p}'=(-p',p)

obtenemos

$p'(E+P+2p)=(E-P)p\qquad\rightarrow\qquad p'=\frac{p(E-p)}{E+P+2p}$

@@ Línea 130: / Línea 130: @@
 <center><math>\mathbf{P}+\mathbf{p}=\mathbf{P}'+\mathbf{p}'\qquad\qquad\mathbf{P}'\cdot\mathbf{P}'=\mathbf{P}\cdot\mathbf{P}=m^2</math></center>
+Despejando y hallando el módulo
+<center><math>\mathbf{P}'=\mathbf{P}+\mathbf{p}-\mathbf{p}'\,</math>{{tose}}<math>m^2 = m^2 + 0 + 0 +2\mathbf{P}\cdot\mathbf{p}-2\mathbf{p}\cdot(\mathbf{P}+\mathbf{p})º,</math>{{tose}}<math>\mathbf{p}\cdot(\mathbf{P}+\mathbf{p})=\mathbf{P}\cdot\mathbf{p}</math></center>
+Escribiendo los momentos de los fotones incidente y reflejado como
+<center><math>\mathfb{p}=(p,p)\qquad\qquad\mathbf{p}'=(-p',p)</math></center>
+obtenemos
+<center><math>p'(E+P+2p)=(E-P)p\qquad\rightarrow\qquad p'=\frac{p(E-p)}{E+P+2p}</math></center>
 ==Barco de vela solar==

Propulsión solar

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Contenido

1 Introducción

2 Fundamentos

2.1 Partículas y cuadrivectores

2.2 Fotones

2.3 Transformaciones de Lorentz

2.4 Efecto Doppler

3 Colisión con un fotón

3.1 Absorción de un fotón

3.2 Reflexión de un fotón

4 Barco de vela solar

4.1 Descripción del problema

5 Vela reflectante

6 Vela absorbente

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