Dos planos y tres superficies esféricas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 21:56 20 ene 2010

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Solución mediante el circuito equivalente
4 Solución mediante la matriz de coeficientes de capacidad
5 Posibles caminos intermedios

1 Enunciado

Dos discos conductores de radio $R = 15\,\mathrm{cm}$ , paralelos y separados una distancia $a=1\,\mathrm{mm}$ están conectados a sendas esferas conductoras, también de radio $R$ , mediante unos hilos conductores muy largos. Una de las esferas está completamente rodeada por una carcasa conductora esférica, conectada a tierra, de radio $2R = 30\,\mathrm{cm}$ , espesor despreciable, y concéntrica con la esfera. El sistema de conductores se encuentra en el vacío.

Determine la matriz de coeficientes de capacidad del sistema en función de sus parámetros geométricos. Justifique las aproximaciones que haga.
Estando el sistema inicialmente descargado, se conecta la esfera sin carcasa a una fuente de potencial fijo $V_0 = 100\,\mathrm{V}$ . Determine la carga eléctrica en cada una de las superficies conductoras (esferas, discos y carcasa esférica) cuando el sistema ha alcanzado el equilibrio electrostático.
Para la situación anterior, determine la energía almacenada en el sistema.

2 Introducción

Este problema puede abordarse de múltiples formas equivalentes

Empleando exclusivamente el circuito equivalente.
Empleando exclusivamente coeficientes de capacidad, con ayuda del cálculo matricial.
Empleando una combinación de ambas técnicas.

Lo más habitual es el tercer método. Sin embargo, dado que los posibles saltos de un método a otro son numerosos y con el objeto de simplificar la exposición, aquí se va a explicar, en primer lugar, una solución que emplea casi únicamente el circuito; a continuación, una solución centrada en el álgebra matricial; finalmente, se comentarán diversas posibilidades intermedias.

Quede claro que ninguno de estos métodos es “el correcto” o “el preferible”. Todos son equivalentes, con tal de que proporcionen el resultado correcto.

3 Solución mediante el circuito equivalente

3.1 Construcción del circuito

Para construir el circuito equivalente debemos colocar en primer lugar un nodo por cada conductor. Este sistema consta, en principio, de 5 conductores:

La esfera de radio $R$ , a la izquierda en la figura.
La placa de la izquierda del condensador plano.
La placa de la derecha del condensador plano.
La esfera interior a la derecha en la figura.
La carcasa esférica que rodea a la esfera anterior.

Sin embargo, al existir una conexión entre el 1 y el 2, y otra entre el 3 y el 4, el sistema consta realmente de tres conductores, que denominaremos, respectivamente 1' (la unión de 1 y 2), 2' (unión de 3 y 4) y 3' (la carcasa). En lo que sigue, es importante no confundir los conductores considerados como un sistema de 5 (lo que se indica con números sin prima) y considerados como un sistema de 3 (lo que se indica con números con prima).

Colocamos entonces un nodo por cada uno de estos tres conductores.

A continuación debemos colocar un condensador entre cada par de nodos, representando la capacidad que existe entre ellos.

Entre los nodos 1' y 2' se encuentra un condensador plano. Teniendo en cuenta que la separación entre placas ( $a=1\,\mathrm{mm}$ ) es mucho menor que su radio ( $R=150\,\mathrm{mm}$ ), podemos despreciar los efectos de borde y aproximar la capacidad por

$\overline{C}_{1'2'}=\frac{\varepsilon_0 S}{a}=\frac{\varepsilon_0 \pi R^2}{a} = 625.9\,\mathrm{pF}$

En este cálculo estamos despreciando además las posibles líneas de campo entre la esfera 1 y el conductor 2'. Ya que los hilos son muy largos, podemos suponer que cada uno de sus tres partes se comporta de forma independiente salvo por el hecho de que los hilos igualan los potenciales.

Por la misma razón, no hay condensador entre el nodo 1' y el 3', ya que ninguna línea de campo de la esfera de la izquierda llega a la carcasa de la derecha.

$\overline{C}_{1'3'} = 0$

Por último, entre el conductor 2' y el 3' tenemos la capacidad de un condensador esférico de radios $R$ y $2 R$

$\overline{C}_{2'3'} = \frac{4\pi\varepsilon_0 R(2R)}{2R-R} = 8\pi\varepsilon_0 R = 33.4\,\mathrm{pF}$

Además de estas capacidades, debemos añadir las autocapacidades que conectan cada conductor a tierra.

Para el conductor 1', las líneas que van al infinito son las que parten de la esfera 1, la cual tiene una capacidad

$\overline{C}_{1'1'}=4\pi\varepsilon_0 R = 16.7\,\mathrm{pF}$

Ninguna de las dos partes del conductor 2' produce líneas que vayan al infinito. Las de la placa plana van a la otra placa y las de la esfera van a la carcasa. Por tanto

$\overline{C}_{2'2'} = 0$

Por último, el el conductor 3', visto desde el exterior se comporta como una esfera de radio $2 R$ , de autocapacidad

$\overline{C}_{3'3'}=4\pi\varepsilon_0(2R) = 8\pi\varepsilon_0 R = = 33.4\,\mathrm{pF}$

Esto nos deja finalmente con un circuito equivalente formado por tres nodos y cuatro condensadores.

Conocidas las capacidades y autocapacidades obtenemos los coeficientes de capacidad e inducción

$\begin{array}{rcl} C_{1'1'}&=&\overline{C}_{1'1'} +\overline{C}_{1'2'}=4\pi\varepsilon_0 R + \displaystyle\frac{\varepsilon_0 \pi R^2}{a} = 642.6\,\mathrm{pF}\\ C_{1'2'}& = &-\overline{C}_{1'2'} = \displaystyle-\frac{\varepsilon_0\pi R^2}{a} = -625.9\,\mathrm{pF}\\ C_{2'2'}& = &\overline{C}_{1'2'}+\overline{C}_{2'3'} = \displaystyle\frac{\varepsilon_0 \pi R^2}{a} + 8\pi\varepsilon_0 R = 659.2\,\mathrm{pF}\\ C_{2'3'}& = &-\overline{C}_{2'3'} = -8\pi\varepsilon_0 R = -33.4\,\mathrm{pF}\\ C_{3'3'}& = & \overline{C}_{2'3'}+\overline{C}_{3'3'} = 16\pi\varepsilon_0 R = 66.8\,\mathrm{pF}\\ \end{array}$

o, en forma matricial

$\mathsf{C}'= \pi\varepsilon_0 R\begin{pmatrix} 4 + (R/a) & -(R/a) & 0 \\ -(R/a) & (R/a) + 8 & -8 \\ 0 & -8 & 16\end{pmatrix}$

Numéricamente

$\mathsf{C}'= \begin{pmatrix}642.6 & -625.9 & 0 \\ -625.9 & 659.2 & -33.4 \\ 0 & -33.4 & 66.8\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}$

Vemos que, como debe ser, los elementos de la diagonal son estrictamente positivos, mientras que los no diagonales son negativos o nulos.

Este sistema puede incluso suponerse como formado por solo dos conductores, aplicando el que el conductor 3' se encuentra permanentemente a tierra. Desde el punto de vista del circuito equivalente, lo que ocurre es que al conectar el nodo 3' a tierra, se cortocircuita el condensador $\overline{C}_{3'3'}$ . El sistema se reduce a los nodos 1' y 2'. A todos los efectos, el conductor 3' es equivalente al infinito, ya que se encuentran al mismo potencial.

Esto deja las relaciones para las cargas y los potenciales como

$Q_{1'}=C_{1'1'}V_{1'}+C_{1'2'}V_{2'} + \overbrace{C_{1'3'}V_{3'}}^{=0} =C_{1'1'}V_{1'}+C_{1'2'}V_{2'}$ $Q_{2'}=C_{1'2'}V_{1'}+C_{2'2'}V_{2'} + \overbrace{C_{2'3'}V_{3'}}^{=0}=C_{1'2'}V_{1'}+C_{2'2'}V_{2'}$

esto es, que el sistema se puede representar por una matriz 2×2.

$\mathsf{C}''= \pi\varepsilon_0 R\begin{pmatrix} 4 + (R/a) & -(R/a) \\ -(R/a) & (R/a) + 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}642.6 & -625.9\\ -625.9 & 659.2\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}$

Una vez que tenemos la matriz de coeficientes de capacidad, o el circuito equivalente, podemos calcular las cargas y potenciales en cada caso concreto.

3.2 Cargas y voltajes

Inicialmente tenemos el sistema descargado. Entonces se conecta el conductor 1' a tensión $V_0=100\,\mathrm{V}$ . El conductor 2' no se conecta a nada, por lo que sigue descargado.

Se trata de hallar $V 2'$ , así como las cargas en las distintas superficies conductoras.

Desde el punto de vista del circuito ello significa que añadimos una fuente de tensión al nodo 1', mientras que no conectamos nada al 2'. El nodo 3' sigue puesto a tierra. Tenemos que el condensador $\overline{C}_{1'2'}= 625.9\,\mathrm{pF}$ $ se encuentra en serie con el $\overline{C}_{2'3'}=33.4\,\mathrm{pF}$ y esta asociación se encuentra en paralelo con el $\overline{C}_{1'1'}=16.7\,\mathrm{pF}$ .

La capacidad equivalente del circuito es por tanto

$C_\mathrm{eq}=\overline{C}_{1'1'}+\frac{\overline{C}_{1'2'}\overline{C}_{2'3'}}{\overline{C}_{1'2'}+\overline{C}_{2'3'}}= 16.7\,\mathrm{pF} +\frac{625.9\times 33.4}{625.9+33.4}\,\mathrm{pF}= 48.4\,\mathrm{pF}$

Conocida esta capacidad tenemos la carga del conductor 1':

$Q_{1'}=C_\mathrm{eq}V_0 = 4.84\,\mathrm{nC}$

El potencial del nodo 2' lo obtenemos aplicando que la tensión $V 0$ se reparte entre los dos condensadores en serie, por lo que

$V_{2'}=\frac{\overline{C}_{1'2'}}{\overline{C}_{1'2'}+\overline{C}_{2'3'}}V_0 = 94.9\,\mathrm{V}$

El problema nos pide no solo la carga neta de cada conductor, sino de cada superficie. Este cálculo es sencillo mediante el uso del circuito equivalente, ya que tenemos las distintas capacidades y potenciales.

La carga en la esfera es la del condensador $\overline{C}_{1'1'}$

$Q_1 = \overline{C}_{1'1'}V_0 = 4\pi\varepsilon_0 R V_0 = 1.67\,\mathrm{nC}$

La carga de las placas del condensador plano es igual a la capacidad por su diferencia de potencial

$Q_2 = \overline{C}_{1'2'}(V_{1'} -V_{2'}) = 3.17\,\mathrm{nC}$ $Q_3 = -Q_2 =-3.17\,\mathrm{nC}$

La carga de la esfera interior a la carcasa corresponde a la de una de las placas del condensador $\overline{C}_{2'3'}$ y la de la carcasa a la de la otra placa. Como este condensador está en serie con el anterior, las cargas son las mismas que en aquel,

$Q_4 = Q_2 = 3.17\,\mathrm{nC}$ $Q_5 = Q_3 = -3.17\,\mathrm{nC}$

3.3 Energía almacenada

Una vez que tenemos las cargas y los potenciales, el cálculo de la energía es inmediato

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 Q_{i'}V_{i'} = \frac{1}{2}\left(4.84{\cdot}100+0{\cdot}V_{2'}+Q_{3'}{\cdot}0\right)=241.9\,\mathrm{nJ}$

Obsérvese que al ser nulas la carga del segundo conductor y el potencial del tercero, nos quedamos con un solo sumando.

Empleando el circuito equivalente, esta energía se puede hallar sumando la almacenada en los distintos condensadores

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\overline{C}_{1'1'}V_{1'}^2 + \frac{1}{2}\overline{C}_{1'2'}\left(V_{1'}-V_{2'}\right)^2 + \frac{1}{2}\overline{C}_{2'3'}\left(V_{2'}-V_{3'}\right)^2$

o directamente empleando la capacidad equivalente

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{eq} V_0^2$

El resultado será el mismo en todos los casos.

4 Solución mediante la matriz de coeficientes de capacidad

4.1 Cálculo de la matriz

Un método complementario al uso del circuito equivalente consiste en analizar directamente el sistema en términos de los conductores que lo forman.

Este sistema consta, en principio, de 5 conductores:

La esfera de radio $R$ , a la izquierda en la figura.
La placa de la izquierda del condensador plano.
La placa de la derecha del condensador plano.
La esfera interior a la derecha en la figura.
La carcasa esférica que rodea a la esfera anterior.

Si consideramos el sistema como formado por cinco conductores, se trata de hallar una matriz 5×5.

Más tarde veremos como reducirlo a solo 3, teniendo en cuenta los hilos de conexión.

Dado que estos hilos son muy largos, podemos suponer el sistema de cinco conductores en realidad se compone de tres partes independientes:

La esfera 1
El condensador plano (conductores 2 y 3)
La esfera con la carcasa (conductores 4 y 5)

El campo de cada una de las partes no llega a ninguna de las otras dos, por lo que el cálculo de los coeficientes de capacidad puede hacerse por separado. La presencia de los cables lo que hará será igualar los potenciales y redistribuir las cargas, pero no hace que que el campo de una parte llegue a alguna de las otras.

Matemáticamente, esto se expresa como que se anulan los coeficientes de capacidad que relacionan conductores de dos partes distintas, esto es

$C_{12}=C_{13}=C_{14}=C_{15} = 0\,$

C 24 = C 25 = C 34 = C 35 = 0

más sus expresiones simétricas.

En forma matricial, esto equivale a que la matriz de coeficientes de capacidad es de la forma

$\mathsf{C}=\begin{pmatrix}C_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 \\ 0 & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & C_{45} \\ 0 & 0 & 0 & C_{45} & C_{55}\end{pmatrix}$

o, dicho de otra forma, que esta matriz está formada por bloques, siendo cada bloque el correspondiente a cada parte del sistema.

Veamos cuanto vale cada uno de esos bloques.

A. Para la esfera 1, se trata de un conductor esférico no sometido a la influencia de ningún otro conductor. Por tanto

$C_{11} = 4\pi\varepsilon_0 R== 16.7\,\mathrm{pF}$

B. los conductores 2 y 3 forman un condensador plano. Teniendo en cuenta que la separación entre placas ($a=1\,\mathrm{mm}$) es mucho menor que su radio $R=150\,\mathrm{mm}$, podemos despreciar los efectos de borde y aproximar la capacidad por

$\overline{C}_{23}=\frac{\varepsilon_0 S}{a}=\frac{\varepsilon_0 \pi R^2}{a} = 625.9\,\mathrm{pF}$

Dado que en un condensador plano prácticamente todo el campo se concentra entre las placas, podemos despreciar las autocapacidades

$\overline{C}_{22} = \overline{C}_{33} = 0$

de forma que la carga en cada conductor es

$Q_2 = C_{22}V_2+C_{23}V_3 = \overline{C}_{23}(V_2-V_3)$ $Q_3 = C_{23}V_3 + C_{33}V_3= \overline{C}_{23}(V_3-V_2)$

resultando los coeficientes de capacidad

$C_{22}=C_{33}=\frac{\varepsilon_0\pi R^2}{a}=625.9\,\mathrm{pF}$ $C_{23}=-\frac{\varepsilon_0\pi R^2}{a}=-625.9\,\mathrm{pF}$

C. La tercera parte del sistema está formada por la esfera ``4 y la carcasa ``5. Cuando se encuentran a diferentes potenciales, en la esfera interior se almacena la carga correspondiente a un condensador esférico de capacidad

$\overline{C}_{45} = \frac{4\pi\varepsilon_0 R(2R)}{(2R)-R} = 8\pi\varepsilon_0 R$

por lo que

$Q_4 = 8\pi\varepsilon_0 R(V_4-V_5)$

En la carcasa esférica debemos contar la carga de este mismo condensador, que se almacena en su cara interior, más la de su superficie exterior, que equivale a la de un conductor esférico de capacidad

$\overline{C}_{55} = 4\pi\varepsilon_0 (2R) = 8\pi\varepsilon_0 R$

de forma que

$Q_5 = 8\pi\varepsilon_0 R(V_5-V_4) + 8\pi\varepsilon_0 R V_5 = 8\pi\varepsilon_0 R(2V_5-V_4)$

Los coeficientes de capacidad para estos dos conductores valen, por tanto

$C_{44} = 8\pi\varepsilon_0 R\,$ $C_{45} = -8\pi\varepsilon_0 R\,$ $C_{55} = 16\pi\varepsilon_0 R$

con valores numéricos

$C_{44} = 33.4\,\mathrm{pF}\qquad C_{45}=-33.4\mathrm{pF}\qquad C_{55} = 66.8\,\mathrm{pF}$

Con todo lo anterior, la matriz de coeficientes de capacidad para el sistema de cinco conductores queda, sacando factor común

$\mathsf{C}=\pi \varepsilon_0 R\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & (R/a) & -(R/a) & 0 & 0 \\ 0 & -(R/a) & (R/a) & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 8 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & -8 & 16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16.7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 625.9 & -625.9 & 0 & 0 \\ 0 & -625.9 & 625.9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 33.4 & -33.4 \\ 0 & 0 & 0 & -33.4 & 66.8\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}$

Vemos que los términos diagonales son todos positivos y los no diagonales son negativos o nulos.

Ahora bien, en este problema los conductores se encuentran conectados por hilos conductores, que une el 1 con el 2, y el 3 con el 4. Esto reduce el sistema a uno de solo tres conductores: el 1' = 1 + 2, 2' = 3 + 4 y 3' = 5. Para este sistema reducido, la matriz de coeficientes de capacidad e inducción es una 3×3.

Podemos obtener esta matriz a partir de la matriz 5×5 que acabamos de calcular. Para ello definimos una matriz $\mathsf{T}$ que representa las conexiones efectuadas. En este caso, se trata de unir 1 con 2 y 3 con 4, lo que da la matriz

$\mathsf{T} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

La nueva matriz de coeficientes de capacidad es

$\mathsf{C}'=\mathsf{T}{\cdot}\mathsf{C}{\cdot}\mathsf{T}^t$ $=\pi\varepsilon_0 R \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (R/a) & -(R/a) & 0 & 0 \\ 0 & -(R/a) & (R/a) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & -8 & 16\end{pmatrix}{\cdot} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $=\pi\varepsilon_0 R\begin{pmatrix} 4 + (R/a) & -(R/a) & 0 \\-(R/a) & (R/a) + 8 & -8 \\ 0 & -8 & 16\end{pmatrix}$

Numéricamente

$\mathsf{C}'= \begin{pmatrix} 642.6 & -625.9 & 0 \\ -625.9 & 659.2 & -33.4 \\0 & -33.4 & 66.8\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}$

Este sistema puede incluso suponerse como formado por solo dos conductores, aplicando el que el conductor 3' (o el 5, que es el mismo) se encuentra permanentemente a tierra. Esto deja las relaciones para las cargas y los potenciales como

$\begin{array}{rcl}Q_{1'}&=&C_{1'1'}V_{1'}+C_{1'2'}V_{2'} + \overbrace{C_{1'3'}V_{3'}}^{=0} =C_{1'1'}V_{1'}+C_{1'2'}V_{2'}\\ Q_{2'}&=&C_{1'2'}V_{1'}+C_{2'2'}V_{2'} + \overbrace{C_{2'3'}V_{3'}}^{=0} =C_{1'2'}V_{1'}+C_{2'2'}V_{2'}\end{array}$

esto es, que el sistema se puede representar por una matriz 2×2.

$\mathsf{C}''= \pi\varepsilon_0 R\begin{pmatrix} 4 + (R/a) & -(R/a) \\ -(R/a) & (R/a) + 8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}642.6 & -625.9\\-625.9 & 659.2\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}$

4.2 Cargas y potenciales

En este apartado, tenemos un caso particular de cargas y potenciales. Los datos que conocemos son, por un lado,

$Q_{2'}=0\,$

ya que este conductor está aislado y se encontraba inicialmente descargado; por otro

$V_{1'} = V_0\,$

al conectarse a la fuente. El conductor 3' sigue verificando

$V_{3'}=0\,$

El calculo de las restantes cargas y potenciales es inmediato a partir de los coeficientes de capacidad. Tenemos el sistema de ecuaciones

$Q_{1'}=C_{1'1'}V_0 + C_{1'2'}V_{2'}\,$ $0 = C_{1'2'}V_0 + C_{2'2'}V_{2'}\,$

de donde

$V_{2'}= - \frac{C_{1'2'}}{C_{2'2'}}V_0 = \frac{(R/a)}{8+(R/a)}V_0 = \frac{625.9}{659.2}100\,\mathrm{V}=96.9\,\mathrm{V}$

La carga total del primer conductor es

$Q_{1'} = C_{1'1'}V_0 + C_{1'2'}V_{2'}=\left(C_{1'1'}-\frac{C_{1'2'}^2}{C_{2'2'}}\right) =\pi\varepsilon_0 R\left(4+\frac{R}{a}-\frac{(R/a)^2}{8+R/a}\right)V_0 = 4.84\,\mathrm{nC}$

El problema nos pide no solo la carga neta de cada conductor, sino de cada superficie. Podemos aplicar que conocemos la matriz de coeficientes de capacidad del sistema de cinco conductores, y hemos calculado los potenciales de los cinco conductores

$\begin{array}{rcl}V_1 &= &V_{1'}= V_0 = 100\,\mathrm{V}\\V_2 &= &V_{1'} = 100\,\mathrm{V}\\ V_3 & = & V_{2'} = 94.9\,\mathrm{V}\\ V_4 & = & V_{2'}= 94.9\,\mathrm{V}\\ V_5 & = & V_{3'}=0\,\mathrm{V}\end{array}$

lo que nos da

$\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \\ Q_4 \\ Q_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16.7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 625.9 & -625.9 & 0 & 0 \\ 0 & -625.9 & 625.9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 33.4 & -33.4 \\ 0 & 0 & 0 & -33.4 & 66.8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}100 \\ 100 \\ 94.9 \\ 94.9 \\ 0\end{pmatrix}\,\mathrm{pC}= \begin{pmatrix}1.67 \\ 3.17 \\ -3.17 \\ 3.17 \\ -3.17\end{pmatrix} \,\mathrm{nC}$

La ventaja de este método es que permite hallar de una vez todas las cargas. El inconveniente, que requiere el uso del álgebra matricial.

4.3 Energía almacenada

Una vez que tenemos las cargas y los potenciales, el cálculo de la energía es inmediato

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^5 Q_i V_i = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 Q_{i'}V_{i'} = =\frac{1}{2}\left(4.84{\cdot}100+0{\cdot}V_{2'}+Q_{3'}{\cdot}0\right)=241.9\,\mathrm{nJ}$

Obsérvese que al ser nulas la carga del segundo conductor y el potencial del tercero, nos quedamos con un solo sumando.

Si se desea emplear el álgebra matricial, la energía se calcula como

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\mathbf{Q}^t{\cdot}\mathbf{V} = \frac{1}{2}\mathbf{V}^t{\cdot}\mathsf{C}{\cdot}\mathbf{V} = \frac{1}{2}\mathbf{V'}^t{\cdot}\mathsf{C'}{\cdot}\mathbf{V'}$

El resultado en cualquier caso es exactamente el mismo.

5 Posibles caminos intermedios

Evidentemente, no hay obligación de restringirse al circuito equivalente o usar exclusivamente álgebra matricial para resolver el problema. En cualquier momento puede pasarse de un planteamiento al otro, siempre que ello conduzca al resultado correcto. Es importante, eso sí, tener claros los distintos conceptos y no confundir los coeficientes de capacidad, $C i k$ , con las capacidades y autocapacidades $\overline{C}_{ik}$ .

Entre los posibles ataques mixtos, pueden encontrarse los siguientes:

1) Usar el circuito equivalente para obtener la matriz 5×5. En este caso, se considera el sistema como formado por tres partes independientes, cada una con su circuito:

La esfera 1, equivalente a un condensador esférico de radio interior $R$ y radio exterior infinito.
El condensador de placas planas 2 y 3.
La esfera 4 y la carcasa 5, que se modelan como dos condensadores, uno esférico entre ambos conductores y otro esférico entre la carcasa y el infinito.

Una vez que se han calculado estas capacidades y autocapacidades, y sabiendo que el resto de las capacidades son nulas, pueden hallarse los coeficientes de capacidad a través de las fórmulas

$C_{ik} = -\overline{C}_{ik}\quad (i\neq k)\qquad\qquad C_{ii}=\sum_k \overline{C}_{ik}$

Luego, para pasar a un sistema de tres conductores puede emplearse el álgebra matricial.

2) Otra posibilidad sencilla consiste en emplear el circuito equivalente para todo el primer apartado, pero recurrir a las matrices para los apartados segundo y tercero.

3) Los cálculos para hallar cargas o potenciales pueden hacerse también empleando sistemas de ecuaciones en lugar de matrices. Por ejemplo, si no se conoce el uso de la matriz $\mathsf{T}$ se puede reducir el sistema de cinco conductores a uno de tres observando que, como resultado de la conexión entre 1 y 2, y entre 3 y 4, tenemos las relaciones

$V_1 = V_2 = V_{1'}\qquad Q_{1'}=Q_1+Q_2$ $V_3 = V_4 = V_{2'}\qquad Q_{2'}=Q_3+Q_4$ que conduce a los mismos resultados.

Dos planos y tres superficies esféricas

De Laplace

última version al 21:56 20 ene 2010

Contenido

1 Enunciado

2 Introducción

3 Solución mediante el circuito equivalente

3.1 Construcción del circuito

3.2 Cargas y voltajes

3.3 Energía almacenada

4 Solución mediante la matriz de coeficientes de capacidad

4.1 Cálculo de la matriz

4.2 Cargas y potenciales

4.3 Energía almacenada

5 Posibles caminos intermedios

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 caso concreto.
-===Situación inicial===
+===Cargas y voltajes===
+Inicialmente tenemos el sistema descargado. Entonces se conecta el conductor 1' a tensión <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math>. El conductor 2' no se conecta a nada, por lo que sigue descargado.
-\casol Inicialmente tenemos el sistema descargado. Entonces se conecta
+Se trata de hallar <math>V_{2'}</math>, así como las cargas en las distintas superficies conductoras.
-el conductor 1' a tensión $V_0=100\,\mathrm{V}$. El conductor 2' no se
-conecta a nada, por lo que sigue descargado.
-Se trata de hallar $V_{2'}$, así como las cargas en las distintas
+[[Imagen:2planos3esferas04.gif|left]]Desde el punto de vista del circuito ello significa que añadimos una fuente de tensión al nodo 1', mientras que no conectamos nada al 2'. El nodo 3' sigue puesto a tierra. Tenemos que el condensador <math>\overline{C}_{1'2'}= 625.9\,\mathrm{pF}</math>$ se encuentra en serie con el <math>\overline{C}_{2'3'}=33.4\,\mathrm{pF}</math> y esta asociación se encuentra en paralelo con el <math>\overline{C}_{1'1'}=16.7\,\mathrm{pF}</math>.
-superficies conductoras.
-\dibujops{circuito4}Desde el punto de vista del circuito ello significa
+La capacidad equivalente del circuito es por tanto
-que añadimos una fuente de tensión al nodo 1', mientras que no
-conectamos nada al 2'. El nodo 3' sigue puesto a tierra. Tenemos que el
+<center><math>C_\mathrm{eq}=\overline{C}_{1'1'}+\frac{\overline{C}_{1'2'}\overline{C}_{2'3'}}{\overline{C}_{1'2'}+\overline{C}_{2'3'}}=
-condensador $\overline{C}_{1'2'}= 625.9\,\mathrm{pF}$ se encuentra en
+.7\,\mathrm{pF} +\frac{625.9\times 33.4}{625.9+33.4}\,\mathrm{pF}= 48.4\,\mathrm{pF}</math></center>
-serie con el $\overline{C}_{2'3'}=33.4\,\mathrm{pF}$ y esta asociación
-se encuentra en paralelo con el
-$\overline{C}_{1'1'}=16.7\,\mathrm{pF}$.
-La capacidad equivalente del circuito es por tanto
-\[
-C_\mathrm{eq}=
-\overline{C}_{1'1'}+\frac{\overline{C}_{1'2'}\overline{C}_{2'3'}}{
-\overline{C}_{1'2'}+\overline{C}_{2'3'}}=
-.7\,\mathrm{pF} +
-\frac{625.9\times 33.4}{625.9+33.4}\,\mathrm{pF}= 48.4\,\mathrm{pF}
-\]
 Conocida esta capacidad tenemos la carga del conductor 1':
-\[
-Q_{1'}=C_\mathrm{eq}V_0 = 4.84\,\mathrm{nC}
-\]
-El potencial del nodo 2' lo obtenemos aplicando que la tensión $V_0$ se
-reparte entre los dos condensadores en serie, por lo que
-\[
-V_{2'}=\frac{\overline{C}_{1'2'}}{\overline{C}_{1'2'}+\overline{C}_{2'3'}}V_0
-= 94.9\,\mathrm{V}
-\]
-El problema nos pide no solo la carga neta de cada conductor, sino de
-cada superficie. Este cálculo es sencillo mediante el uso del circuito
-equivalente, ya que tenemos las distintas capacidades y potenciales.
-La carga en la esfera es la del condensador $\overline{C}_{1'1'}$
+<center><math>Q_{1'}=C_\mathrm{eq}V_0 = 4.84\,\mathrm{nC}</math></center>
-\[
-Q_1 = \overline{C}_{1'1'}V_0 = 4\pi\varepsilon_0 R V_0 =
-.67\,\mathrm{nC}
-\]
-\dibujops{circuito5}
-La carga de las placas del condensador plano es igual a la
-capacidad por su diferencia de potencial
-\[
-Q_2 = \overline{C}_{1'2'}(V_{1'} -V_{2'}) = 3.17\,\mathrm{nC}
-\]
-\[
-Q_3 = -Q_2 =-3.17\,\mathrm{nC}
-\]
-La carga de la esfera interior a la carcasa corresponde a la de una de
-las placas del condensador $\overline{C}_{2'3'}$ y la de la carcasa a
-la de la otra placa. Como este condensador está en serie con el
-anterior, las cargas son las mismas que en aquel,
-\[
-Q_4 = Q_2 = 3.17\,\mathrm{nC}
-\]
-\[
-Q_5 = Q_3 = -3.17\,\mathrm{nC}
-\]
-{}
-\medskip
+El potencial del nodo 2' lo obtenemos aplicando que la tensión <math>V_0</math> se reparte entre los dos condensadores en serie, por lo que
-\casol Una vez que tenemos las cargas y los potenciales, el cálculo de
+<center><math>V_{2'}=\frac{\overline{C}_{1'2'}}{\overline{C}_{1'2'}+\overline{C}_{2'3'}}V_0 = 94.9\,\mathrm{V}</math></center>
-la energía es inmediato
-\[
-U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 Q_{i'}V_{i'} =
-%\]\[=
-\frac{1}{2}\left(4.84{\cdot}100+0{\cdot}V_{2'}+Q_{3'}{\cdot}0\right)=241.9\,\mathrm{nJ}
-\]
-Obsérvese que al ser nulas la carga del segundo conductor y el
-potencial del tercero, nos quedamos con un solo sumando.
-Empleando el circuito equivalente, esta energía se puede hallar sumando
+El problema nos pide no solo la carga neta de cada conductor, sino de cada superficie. Este cálculo es sencillo mediante el uso del circuito equivalente, ya que tenemos las distintas capacidades y potenciales.
-la almacenada en los distintos condensadores
-\[
-U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\overline{C}_{1'1'}V_{1'}^2 +
-\frac{1}{2}\overline{C}_{1'2'}\left(V_{1'}-V_{2'}\right)^2 +
-\frac{1}{2}\overline{C}_{2'3'}\left(V_{2'}-V_{3'}\right)^2
-\]
-o directamente empleando la capacidad equivalente
-\[
-U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{eq} V_0^2
-\]
-El resultado será el mismo en todos los casos.
-\medskip
+La carga en la esfera es la del condensador <math>\overline{C}_{1'1'}</math>
-\cason Al acercar las placas, la capacidad del condensador plano
+<center><math>Q_1 = \overline{C}_{1'1'}V_0 = 4\pi\varepsilon_0 R V_0 = 1.67\,\mathrm{nC}</math></center>
-cambia, pasando a ser el doble
-\[
-\overline{C}'_{1'2'} = \frac{\varepsilon_0 \pi R^2}{a'} = 1251.7\,\mathrm{pF}
-\]
-Por otra parte, al estar aislados los conductores 1' y 2', la carga en
-cada uno de ellos permanece constante.
-La nueva capacidad equivalente del circuito es
+[[Imagen:2placas3esferas05.gif|right]]
-\[
-C'_\mathrm{eq} =
-\overline{C}_{1'1'}+\frac{\overline{C}'_{1'2'}\overline{C}_{2'3'}}{
-\overline{C}'_{1'2'}+\overline{C}_{2'3'}}=
-.7\,\mathrm{pF} +
-\frac{1251.7\times 33.4}{1251.7.9+33.4}\,\mathrm{pF}= 49.2\,\mathrm{pF}
-\]
-y de aquí obtenemos el nuevo potencial del conductor 1'
-\[
-V'_{1'}=\frac{Q_{1'}}{C_\mathrm{eq}'} =
-\frac{C_\mathrm{eq}}{C_\mathrm{eq'}}V_0 = 98.3\,\mathrm{V}
-\]
-y el del conductor 2'
-\[
-V'_{2'} =
-\frac{\overline{C}'_{1'2'}}{\overline{C}'_{1'2'}+\overline{C}_{2'3'}}V_{1'}
-= 95.8\,\mathrm{V}
-\]
-Una vez que tenemos los dos potenciales podemos hallar las cargas en
-cada conductor como en el apartado (b)
-\[
-Q'_1 = \overline{C}_{1'1'}V'_{1'} = 1.64\,\mathrm{nC}
-\]
-\[
-Q'_2 = \overline{C}'_{1'2'}(V'_{1'} -V'_{2'}) = 3.20\,\mathrm{nC}
-\]
-\[
-Q'_3 = -Q'_2 =-3.20\,\mathrm{nC}
-\]
-\[
-Q'_4 = Q'_2 = 3.20\,\mathrm{nC}
-\]
-\[
-Q'_5 = Q'_3 = -3.20\,\mathrm{nC}
-\]
-La nueva energía es
-\[
-U_\mathrm{f} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 Q'_{i'}V'_{i'} =
-.8\,\mathrm{nJ}
-\]
-Si se quiere emplear la capacidad equivalente, existen varias expresiones alternativas
-\[
-U_\mathrm{f}=\frac{1}{2}C'_\mathrm{eq}V^{'2}_{1'} =
-\frac{1}{2}\,\frac{Q_1^2}{C'_\mathrm{eq}}=
-\frac{1}{2}\,\frac{C_\mathrm{eq}^2}{C'_\mathrm{eq}}V_0^2
-\]
-La nueva energía es inferior a la inicial, siendo la diferencia
-\[
-W = U_\mathrm{f}-U_\mathrm{i}=-4.1\,\mathrm{nJ}
-\]
-Este incremento negativo significa que el agente externo que acerca las
-placas una a la otra no realiza trabajo, sino que extrae energía, ya
-que las placas de por sí tienden a acercarse.
-\begin{center}
+La carga de las placas del condensador plano es igual a la capacidad por su diferencia de potencial
-{\large \textbf{Solución mediante la matriz de coeficientes de capacidad}}
-\end{center}
+<center><math>Q_2 = \overline{C}_{1'2'}(V_{1'} -V_{2'}) = 3.17\,\mathrm{nC}</math>{{qquad}}{{qquad}}
-\setcounter{ncasol}{0}
+<math>Q_3 = -Q_2 =-3.17\,\mathrm{nC}</math></center>
-\casol Un método complementario al uso del circuito equivalente
-consiste en analizar directamente el sistema en términos de los
+La carga de la esfera interior a la carcasa corresponde a la de una de las placas del condensador <math>\overline{C}_{2'3'}</math> y la de la carcasa a la de la otra placa. Como este condensador está en serie con el anterior, las cargas son las mismas que en aquel,
-conductores que lo forman.
+<center><math>Q_4 = Q_2 = 3.17\,\mathrm{nC}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_5 = Q_3 = -3.17\,\mathrm{nC}</math></center>
+===Energía almacenada===
+Una vez que tenemos las cargas y los potenciales, el cálculo de la energía es inmediato
+<center><math>U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 Q_{i'}V_{i'} = \frac{1}{2}\left(4.84{\cdot}100+0{\cdot}V_{2'}+Q_{3'}{\cdot}0\right)=241.9\,\mathrm{nJ}</math></center>
+Obsérvese que al ser nulas la carga del segundo conductor y el potencial del tercero, nos quedamos con un solo sumando.
+Empleando el circuito equivalente, esta energía se puede hallar sumando la almacenada en los distintos condensadores
+<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\overline{C}_{1'1'}V_{1'}^2 + \frac{1}{2}\overline{C}_{1'2'}\left(V_{1'}-V_{2'}\right)^2 +  \frac{1}{2}\overline{C}_{2'3'}\left(V_{2'}-V_{3'}\right)^2</math></center>
+o directamente empleando la capacidad equivalente
+<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{eq} V_0^2</math></center>
+El resultado será el mismo en todos los casos.
+==Solución mediante la matriz de coeficientes de capacidad==
+===Cálculo de la matriz===
+Un método complementario al uso del circuito equivalente consiste en analizar directamente el sistema en términos de los conductores que lo forman.
 Este sistema consta, en principio, de 5 conductores:
-\begin{enumerate}
+# La esfera de radio <math>R</math>, a la izquierda en la figura.
-\item La esfera de radio $R$, a la izquierda en la figura.
+# La placa de la izquierda del condensador plano.
-\item La placa de la izquierda del condensador plano.
+# La placa de la derecha del condensador plano.
-\item La placa de la derecha del condensador plano.
+# La esfera interior a la derecha en la figura.
-\item La esfera interior a la derecha en la figura.
+# La carcasa esférica que rodea a la esfera anterior.
-\item La carcasa esférica que rodea a la esfera anterior.
-\end{enumerate}
-Si consideramos el sistema como formado por cinco conductores, se trata
+Si consideramos el sistema como formado por cinco conductores, se trata de hallar una matriz 5&times;5.
-de hallar una matriz $5\times 5$.
-Más tarde veremos como reducirlo a solo 3, teniendo en cuenta los hilos
+Más tarde veremos como reducirlo a solo 3, teniendo en cuenta los hilos de conexión.
-de conexión.
-Dado que estos hilos son muy largos, podemos suponer el sistema de
+Dado que estos hilos son muy largos, podemos suponer el sistema de cinco conductores en realidad se compone de tres partes independientes:
-cinco conductores en realidad se compone de tres partes independientes:
-\begin{enumerate}
+<ol style="list-style-type:upper-alpha">
-\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
+<li>La esfera 1</li>
-\item La esfera 1.
+<li>El condensador plano (conductores 2 y 3)</li>
-\item El condensador plano (conductores 2 y 3).
+<li>La esfera con la carcasa (conductores 4 y 5)</li>
-\item La esfera con la carcasa (conductores 4 y 5).
+</ol>
-\end{enumerate}
-El campo de cada una de las partes no llega a ninguna de las otras dos,
+El campo de cada una de las partes no llega a ninguna de las otras dos, por lo que el cálculo de los coeficientes de capacidad puede hacerse por separado. La presencia de los cables lo que hará será igualar los potenciales y redistribuir las cargas, pero no hace que que el campo de una parte llegue a alguna de las otras.
-por lo que el cálculo de los coeficientes de capacidad puede hacerse
-por separado. La presencia de los cables lo que hará será igualar los
+Matemáticamente, esto se expresa como que se anulan los coeficientes de capacidad que relacionan conductores de dos partes distintas, esto es
-potenciales y redistribuir las cargas, pero no hace que que el campo de
-una parte llegue a alguna de las otras.
+<center><math>C_{12}=C_{13}=C_{14}=C_{15} = 0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}
+<math>C_{24}=C_{25}=C_{34}=C_{35} = 0</math></center>
-Matemáticamente, esto se expresa como que se anulan los coeficientes de
-capacidad que relacionan conductores de dos partes distintas, esto es
-\[
-C_{12}=C_{13}=C_{14}=C_{15} = 0
-\]
-\[
-C_{24}=C_{25}=C_{34}=C_{35} = 0
-\]
 más sus expresiones simétricas.
-En forma matricial, esto equivale a que la matriz de coeficientes de
+En forma matricial, esto equivale a que la matriz de coeficientes de capacidad es de la forma
-capacidad es de la forma
-\[
+<center><math>\mathsf{C}=\begin{pmatrix}C_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 \\ 0 & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & C_{45} \\ 0 & 0 & 0 & C_{45} & C_{55}\end{pmatrix}</math></center>
-\bsf{C}=\pmatrix{C_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
-& C_{22} & C_{23} & 0 & 0 \cr
+o, dicho de otra forma, que esta matriz está formada por ''bloques'', siendo cada bloque el correspondiente a cada parte del sistema.
-& C_{23} & C_{33} & 0 & 0 \cr
-& 0 & 0 & C_{44} & C_{45} \cr
-& 0 & 0 & C_{45} & C_{55}}
-\]
-o, dicho de otra forma, que esta matriz está formada por
-\emph{bloques}, siendo cada bloque el correspondiente a cada parte del
-sistema.
 Veamos cuanto vale cada uno de esos bloques.
-\dibujops{circuito6}
+[[Imagen:2planos3esferas06.gif|right]]
-\noindent\textbf{A.} Para la esfera 1, se trata de un conductor
-esférico no sometido a la influencia de ningún otro conductor. Por
+'''A.''' Para la esfera 1, se trata de un conductor esférico no sometido a la influencia de ningún otro conductor. Por tanto
-tanto
-\[
+<center><math>C_{11} = 4\pi\varepsilon_0 R== 16.7\,\mathrm{pF}</math></center>
-C_{11} = 4\pi\varepsilon_0 R
-\]
-El valor numérico de este coeficiente es
+'''B.''' los conductores 2 y 3 forman un condensador plano. Teniendo en cuenta que la separación entre placas ($a=1\,\mathrm{mm}$)
-\[
+es mucho menor que su radio $R=150\,\mathrm{mm}$, podemos despreciar los efectos de borde y aproximar la capacidad por
-C_{11}=\overline{C}_{11} = 16.7\,\mathrm{pF}
-\]
+<center><math>\overline{C}_{23}=\frac{\varepsilon_0 S}{a}=\frac{\varepsilon_0 \pi R^2}{a} =  625.9\,\mathrm{pF}</math></center>
+[[Imagen:2planos3esferas07.gif|left]]
+Dado que en un condensador plano prácticamente todo el campo se concentra entre las placas, podemos despreciar las autocapacidades
+<center><math>\overline{C}_{22} = \overline{C}_{33} = 0</math></center>
-\dibujops{circuito7}\noindent\textbf{B.} los conductores 2 y 3 forman un condensador plano.
-Teniendo en cuenta que la separación entre placas ($a=1\,\mathrm{mm}$)
-es mucho menor que su radio $R=150\,\mathrm{mm}$, podemos despreciar
-los efectos de borde y aproximar la capacidad por
-\[
-\overline{C}_{23}=\frac{\varepsilon_0 S}{a}=\frac{\varepsilon_0 \pi R^2}{a}
-\]
-El valor numérico de esta capacidad es
-\[
-\overline{C}_{23} = 625.9\,\mathrm{pF}
-\]
-Dado que en un condensador plano prácticamente todo el campo se
-concentra entre las placas, podemos despreciar las autocapacidades
-\[
-\overline{C}_{22} = \overline{C}_{33} = 0
-\]
 de forma que la carga en cada conductor es
-\[
-Q_2 = C_{22}V_2+C_{23}V_3 = \overline{C}_{23}(V_2-V_3)
+<center><math>Q_2 = C_{22}V_2+C_{23}V_3 = \overline{C}_{23}(V_2-V_3)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_3 = C_{23}V_3 + C_{33}V_3= \overline{C}_{23}(V_3-V_2)</math></center>
-\]
-\[
-Q_3 = C_{23}V_3 + C_{33}V_3= \overline{C}_{23}(V_3-V_2)
-\]
 resultando los coeficientes de capacidad
-\[
-C_{22}=C_{33}=\frac{\varepsilon_0\pi R^2}{a}\qquad
-C_{23}=-\frac{\varepsilon_0\pi R^2}{a}
-\]
-{}
-\dibujops{circuito8}\noindent\textbf{C.} La tercera parte del sistema
+<center><math>C_{22}=C_{33}=\frac{\varepsilon_0\pi R^2}{a}=625.9\,\mathrm{pF}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>C_{23}=-\frac{\varepsilon_0\pi R^2}{a}=-625.9\,\mathrm{pF}</math></center>
-está formada por la esfera ``4'' y la carcasa ``5''. Cuando se
-encuentran a diferentes potenciales, en la esfera interior se almacena
+'''C.''' La tercera parte del sistema está formada por la esfera ``4'' y la carcasa ``5''. Cuando se encuentran a diferentes potenciales, en la esfera interior se almacena la carga correspondiente a un condensador esférico de capacidad
-la carga correspondiente a un condensador esférico de capacidad
-\[
+[[Imagen:2planos3esferas08.gif|left]]
-\overline{C}_{45} = \frac{4\pi\varepsilon_0 R(2R)}{(2R)-R} = 8\pi\varepsilon_0 R
-\]
+<center><math>\overline{C}_{45} = \frac{4\pi\varepsilon_0 R(2R)}{(2R)-R} = 8\pi\varepsilon_0 R</math></center>
 por lo que
-\[
-Q_4 = 8\pi\varepsilon_0 R(V_4-V_5)
+<center><math>Q_4 = 8\pi\varepsilon_0 R(V_4-V_5)</math></center>
-\]
-En la carcasa esférica debemos contar la carga de este mismo
+En la carcasa esférica debemos contar la carga de este mismo condensador, que se almacena en su cara interior, más la de su superficie exterior, que equivale a la de un conductor esférico de capacidad
-condensador, que se almacena en su cara interior, más la de su
-superficie exterior, que equivale a la de un conductor esférico de
+<center><math>\overline{C}_{55} = 4\pi\varepsilon_0 (2R) = 8\pi\varepsilon_0 R</math></center>
-capacidad
-\[
-\overline{C}_{55} = 4\pi\varepsilon_0 (2R) = 8\pi\varepsilon_0 R
-\]
 de forma que
-\[
-Q_5 = 8\pi\varepsilon_0 R(V_5-V_4) + 8\pi\varepsilon_0 R V_5 =
+<center><math>Q_5 = 8\pi\varepsilon_0 R(V_5-V_4) + 8\pi\varepsilon_0 R V_5 = 8\pi\varepsilon_0 R(2V_5-V_4)</math></center>
-\pi\varepsilon_0 R(2V_5-V_4)
-\]
 Los coeficientes de capacidad para estos dos conductores valen, por tanto
-\[
-C_{44} = 8\pi\varepsilon_0 R \qquad
+<center><math>C_{44} = 8\pi\varepsilon_0 R\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>C_{45} = -8\pi\varepsilon_0 R\,</math>{{qquad}}{{qquad}}
-%\]\[
+<math>C_{55} = 16\pi\varepsilon_0 R</math></center>
-C_{45} = -8\pi\varepsilon_0 R\qquad
-%\]\[
-C_{55} = 16\pi\varepsilon_0 R
-\]
 con valores numéricos
-\[
-C_{44} = 33.4\,\mathrm{pF}\qquad C_{45}=-33.4\mathrm{pF}\qquad C_{55} =
-.8\,\mathrm{pF}
-\]
-Con todo lo anterior, la matriz de coeficientes de capacidad para el
-sistema de cinco conductores queda, sacando factor común
-\[
-\bsf{C}=\pi \varepsilon_0 R\pmatrix{4 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
-& (R/a) & -(R/a) & 0 & 0 \cr
-& -(R/a) & (R/a) & 0 & 0 \cr
-& 0 & 0 & 8 & -8 \cr
-& 0 & 0 & -8 & 16}
-\]
-y numéricamente
-\[
-\bsf{C} = \pmatrix{16.7 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
-   & 625.9 & -625.9 & 0 & 0 \cr
-  & -625.9 & 625.9 & 0 & 0 \cr
-  & 0 & 0 & 33.4 & -33.4 \cr
-& 0 & 0 & -33.4 & 66.8}\,\mathrm{pF}
-\]
-Vemos que los términos diagonales son todos positivos y los no
-diagonales son negativos o nulos.
-Ahora bien, en este problema los conductores se encuentran conectados
+<center><math>C_{44} = 33.4\,\mathrm{pF}\qquad C_{45}=-33.4\mathrm{pF}\qquad C_{55} = 66.8\,\mathrm{pF}</math></center>
-por hilos conductores, que une el 1 con el 2, y el 3 con el 4. Esto
-reduce el sistema a uno de solo tres conductores: el 1' = 1 + 2, 2' = 3 + 4 y 3' = 5. Para este sistema reducido, la matriz de coeficientes de
+Con todo lo anterior, la matriz de coeficientes de capacidad para el sistema de cinco conductores queda, sacando factor común
-capacidad es una $3\times 3$.
+<center><math>\mathsf{C}=\pi \varepsilon_0 R\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & (R/a) & -(R/a) & 0 & 0 \\ 0 & -(R/a) & (R/a) & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 8 & -8 \\  0 & 0 & 0 & -8 & 16\end{pmatrix}
+ = \begin{pmatrix}16.7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0   & 625.9 & -625.9 & 0 & 0 \\ 0  & -625.9 & 625.9 & 0 & 0 \\ 0  & 0 & 0 & 33.4 & -33.4 \\     0 & 0 & 0 & -33.4 & 66.8\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}</math></center>
+Vemos que los términos diagonales son todos positivos y los no diagonales son negativos o nulos.
+Ahora bien, en este problema los conductores se encuentran conectados por hilos conductores, que une el 1 con el 2, y el 3 con el 4. Esto
+reduce el sistema a uno de solo tres conductores: el 1' = 1 + 2, 2' = 3 + 4 y 3' = 5. Para este sistema reducido, la matriz de coeficientes de capacidad e inducción es una 3&times;3.
+Podemos obtener esta matriz a partir de la matriz 5&times;5 que acabamos de calcular. Para ello definimos una matriz <math>\mathsf{T}</math> que representa las conexiones efectuadas. En este caso, se trata de unir 1 con 2 y 3 con 4, lo que da la matriz
+<center><math>\mathsf{T} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math></center>
-Podemos obtener esta matriz a partir de la matriz $5\times 5$ que acabamos de calcular. Para ello definimos una matriz $\bsf{T}$
-que representa las conexiones efectuadas. En este caso, se trata de
-unir 1 con 2 y 3 con 4, lo que da la matriz
-\[
-\bsf{T} = \pmatrix{1 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \cr 0 & 0 &
-& 0 & 1}
-\]
 La nueva matriz de coeficientes de capacidad es
-\[
-\bsf{C}'=\bsf{T}{\cdot}\bsf{C}{\cdot}\bsf{T}^t =
+<center><math>\mathsf{C}'=\mathsf{T}{\cdot}\mathsf{C}{\cdot}\mathsf{T}^t </math><math>=\pi\varepsilon_0 R \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (R/a) & -(R/a) & 0 & 0 \\ 0 & -(R/a) & (R/a) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & -8 & 16\end{pmatrix}{\cdot}
-\]
+\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} </math>
-\[
+<math>=\pi\varepsilon_0 R\begin{pmatrix} 4 + (R/a) & -(R/a) & 0 \\-(R/a) & (R/a) + 8 & -8 \\ 0 & -8 & 16\end{pmatrix}</math></center>
-=\pi\varepsilon_0 R \pmatrix{1 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 1 & 0
-\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1}{\cdot}\pmatrix{4 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
-& (R/a) & -(R/a) & 0 & 0 \cr
-& -(R/a) & (R/a) & 0 & 0 \cr
-& 0 & 0 & 8 & -8 \cr
-& 0 & 0 & -8 & 16}{\cdot}
-\pmatrix{1 & 0 & 0 \cr
-& 0 & 0 \cr
-& 1 & 0 \cr
-& 1 & 0 \cr
-& 0 & 1} =
-\]
-\[
-=\pi\varepsilon_0 R\pmatrix{ 4 + (R/a) & -(R/a) & 0 \cr
-                             -(R/a) & (R/a) + 8 & -8 \cr
-& -8 & 16}
-\]
 Numéricamente
-\[
-\bsf{C}'= \pmatrix{ 642.6 & -625.9 & 0 \cr
-                   -625.9 & 659.2 & -33.4 \cr
-& -33.4 & 66.8}\,\mathrm{pF}
-\]
-Este sistema puede incluso suponerse como formado por solo dos
-conductores, aplicando el que el conductor 3'  (o el 5, que es el
-mismo) se encuentra permanentemente a tierra. Esto deja las relaciones
-para las cargas y los potenciales como
-\[
-Q_{1'}=C_{1'1'}V_{1'}+C_{1'2'}V_{2'} + \overbrace{C_{1'3'}V_{3'}}^{=0}
-=C_{1'1'}V_{1'}+C_{1'2'}V_{2'}
-\]
-\[
-Q_{2'}=C_{1'2'}V_{1'}+C_{2'2'}V_{2'} + \overbrace{C_{2'3'}V_{3'}}^{=0}
-=C_{1'2'}V_{1'}+C_{2'2'}V_{2'}
-\]
-esto es, que el sistema se puede representar por una matriz $2\times
-$.
-\[
-\bsf{C}''= \pi\varepsilon_0 R\pmatrix{ 4 + (R/a) & -(R/a) \cr
-                             -(R/a) & (R/a) + 8}
-\]
-Numéricamente
-\[
-\bsf{C}''= \pmatrix{642.6 & -625.9\cr
-                   -625.9 & 659.2}\,\mathrm{pF}
-\]
-\medskip
-\casol En este apartado, tenemos un caso particular de cargas y
+<center><math>\mathsf{C}'= \begin{pmatrix} 642.6 & -625.9 & 0 \\ -625.9 & 659.2 & -33.4 \\0 & -33.4 & 66.8\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}</math></center>
-potenciales. Los datos que conocemos son, por un lado,
-\[
+Este sistema puede incluso suponerse como formado por solo dos conductores, aplicando el que el conductor 3'  (o el 5, que es el mismo) se encuentra permanentemente a tierra. Esto deja las relaciones para las cargas y los potenciales como
-Q_{2'}=0
-\]
+<center><math>\begin{array}{rcl}Q_{1'}&=&C_{1'1'}V_{1'}+C_{1'2'}V_{2'} + \overbrace{C_{1'3'}V_{3'}}^{=0} =C_{1'1'}V_{1'}+C_{1'2'}V_{2'}\\
-ya que este conductor está aislado y se encontraba inicialmente
+Q_{2'}&=&C_{1'2'}V_{1'}+C_{2'2'}V_{2'} + \overbrace{C_{2'3'}V_{3'}}^{=0} =C_{1'2'}V_{1'}+C_{2'2'}V_{2'}\end{array}</math></center>
-descargado; por otro
-\[
+esto es, que el sistema se puede representar por una matriz 2&times;2.
-V_{1'} = V_0
-\]
+<center><math>\mathsf{C}''= \pi\varepsilon_0 R\begin{pmatrix} 4 + (R/a) & -(R/a) \\ -(R/a) & (R/a) + 8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}642.6 & -625.9\\-625.9 & 659.2\end{pmatrix}\,\mathrm{pF} </math></center>
+===Cargas y potenciales===
+En este apartado, tenemos un caso particular de cargas y potenciales. Los datos que conocemos son, por un lado,
+<center><math>Q_{2'}=0\,</math></center>
+ya que este conductor está aislado y se encontraba inicialmente descargado; por otro
+<center><math>V_{1'} = V_0\,</math></center>
 al conectarse a la fuente. El conductor 3' sigue verificando
-\[
-V_{3'}=0
+<center><math>V_{3'}=0\,</math></center>
-\]
-El calculo de las restantes cargas y potenciales es inmediato a partir
+El calculo de las restantes cargas y potenciales es inmediato a partir de los coeficientes de capacidad. Tenemos el sistema de ecuaciones
-de los coeficientes de capacidad. Tenemos el sistema de ecuaciones
-\[
+<center><math>Q_{1'}=C_{1'1'}V_0 + C_{1'2'}V_{2'}\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>0 = C_{1'2'}V_0 + C_{2'2'}V_{2'}\,</math></center>
-Q_{1'}=C_{1'1'}V_0 + C_{1'2'}V_{2'}
-\]
-\[
-= C_{1'2'}V_0 + C_{2'2'}V_{2'}
-\]
 de donde
-\[
-V_{2'}= - \frac{C_{1'2'}}{C_{2'2'}}V_0 = \frac{(R/a)}{8+(R/a)}V_0 =
+<center><math>V_{2'}= - \frac{C_{1'2'}}{C_{2'2'}}V_0 = \frac{(R/a)}{8+(R/a)}V_0 = \frac{625.9}{659.2}100\,\mathrm{V}=96.9\,\mathrm{V}</math></center>
-\frac{625.9}{659.2}100\,\mathrm{V}=96.9\,\mathrm{V}
-\]
 La carga total del primer conductor es
-\[
-Q_{1'} = C_{1'1'}V_0 + C_{1'2'}V_{2'}
-=\left(C_{1'1'}-\frac{C_{1'2'}^2}{C_{2'2'}}\right) =
+<center><math>Q_{1'} = C_{1'1'}V_0 + C_{1'2'}V_{2'}=\left(C_{1'1'}-\frac{C_{1'2'}^2}{C_{2'2'}}\right)
-\]
-\[
 =\pi\varepsilon_0 R\left(4+\frac{R}{a}-\frac{(R/a)^2}{8+R/a}\right)V_0
-= 4.84\,\mathrm{nC}
+= 4.84\,\mathrm{nC}</math></center>
-\]
-{}
+El problema nos pide no solo la carga neta de cada conductor, sino de cada superficie. Podemos aplicar que conocemos la matriz de
-El problema nos pide no solo la carga neta de cada conductor, sino de
+coeficientes de capacidad del sistema de cinco conductores, y hemos calculado los potenciales de los cinco conductores
-cada superficie. Podemos aplicar que conocemos la matriz de
-coeficientes de capacidad del sistema de cinco conductores, y hemos
+<center>
-calculado los potenciales de los cinco conductores
+<math>\begin{array}{rcl}V_1 &= &V_{1'}= V_0 = 100\,\mathrm{V}\\V_2 &= &V_{1'} = 100\,\mathrm{V}\\
-\[
+V_3 & = & V_{2'} = 94.9\,\mathrm{V}\\
-V_1 = V_{1'}= V_0 = 100\,\mathrm{V}
+V_4 & = & V_{2'}= 94.9\,\mathrm{V}\\
-\]
+V_5 & = & V_{3'}=0\,\mathrm{V}\end{array}</math></center>
-\[
-V_2 = V_{1'} = 100\,\mathrm{V}
-\]
-\[
-V_3 = V_{2'} = 94.9\,\mathrm{V}
-\]
-\[
-V_4 = V_{2'}= 94.9\,\mathrm{V}
-\]
-\[
-V_5 = V_{3'}=0\,\mathrm{V}
-\]
 lo que nos da
-\[
-\pmatrix{Q_1 \cr Q_2 \cr Q_3 \cr Q_4 \cr Q_5}
-=\pmatrix{16.7 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
-   & 625.9 & -625.9 & 0 & 0 \cr
-  & -625.9 & 625.9 & 0 & 0 \cr
-  & 0 & 0 & 33.4 & -33.4 \cr
-& 0 & 0 & -33.4 & 66.8}\cdot
-\pmatrix{100 \cr 100 \cr 94.9 \cr 94.9 \cr 0} \,\mathrm{pC}=
-\pmatrix{1.67 \cr 3.17 \cr -3.17 \cr 3.17 \cr -3.17} \,\mathrm{nC}
-\]
-La ventaja de este método es que permite hallar de una vez todas las
-cargas. El inconveniente, que requiere el uso del álgebra matricial.
-\medskip
+<center><math>\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \\ Q_4 \\ Q_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16.7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0   & 625.9 & -625.9 & 0 & 0 \\ 0  & -625.9 & 625.9 & 0 & 0 \\ 0  & 0 & 0 & 33.4 & -33.4 \\ 0 & 0 & 0 & -33.4 & 66.8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}100 \\ 100 \\ 94.9 \\ 94.9 \\ 0\end{pmatrix}\,\mathrm{pC}=
+\begin{pmatrix}1.67 \\ 3.17 \\ -3.17 \\ 3.17 \\ -3.17\end{pmatrix} \,\mathrm{nC}</math></center>
-\casol Una vez que tenemos las cargas y los potenciales, el cálculo de
+La ventaja de este método es que permite hallar de una vez todas las cargas. El inconveniente, que requiere el uso del álgebra matricial.
-la energía es inmediato
-\[
+===Energía almacenada===
-U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^5 Q_i V_i =
+Una vez que tenemos las cargas y los potenciales, el cálculo de la energía es inmediato
+<center><math>U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^5 Q_i V_i =
 \frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 Q_{i'}V_{i'} =
-\]
+=\frac{1}{2}\left(4.84{\cdot}100+0{\cdot}V_{2'}+Q_{3'}{\cdot}0\right)=241.9\,\mathrm{nJ}</math></center>
-\[
-=\frac{1}{2}\left(4.84{\cdot}100+0{\cdot}V_{2'}+Q_{3'}{\cdot}0\right)=241.9\,\mathrm{nJ}
+Obsérvese que al ser nulas la carga del segundo conductor y el potencial del tercero, nos quedamos con un solo sumando.
-\]
-Obsérvese que al ser nulas la carga del segundo conductor y el
-potencial del tercero, nos quedamos con un solo sumando.
 Si se desea emplear el álgebra matricial, la energía se calcula como
-\[
-U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\mathbf{Q}^t{\cdot}\mathbf{V} =
-\frac{1}{2}\mathbf{V}^t{\cdot}\bsf{C}{\cdot}\mathbf{V} =
-\frac{1}{2}\mathbf{V'}^t{\cdot}\bsf{C'}{\cdot}\mathbf{V'}
-\]
-El resultado en cualquier caso es exactamente el mismo.
-\medskip
-\casol Al acercar las placas, la capacidad del condensador plano
+<center><math>U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\mathbf{Q}^t{\cdot}\mathbf{V} =
-cambia, pasando a ser el doble
+\frac{1}{2}\mathbf{V}^t{\cdot}\mathsf{C}{\cdot}\mathbf{V} =
-\[
+\frac{1}{2}\mathbf{V'}^t{\cdot}\mathsf{C'}{\cdot}\mathbf{V'}</math></center>
-\overline{C}'_{1'2'} = \frac{\varepsilon_0 \pi R^2}{a'} = 1251.7\,\mathrm{pF}
-\]
-Por otra parte, al estar aislados los conductores 1' y 2', la carga en
-cada uno de ellos permanece constante.
-Esto nos da una nueva matriz de coeficientes de capacidad
+El resultado en cualquier caso es exactamente el mismo.
-\[
-\bsf{C}=\pi \varepsilon_0 R\pmatrix{4 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
-& R/(a/2) & -R/(a/2) & 0 & 0 \cr
-& -R/(a/2) & R/(a/2) & 0 & 0 \cr
-& 0 & 0 & 8 & -8 \cr
-& 0 & 0 & -8 & 16} =
-\]
-\[
- = \pmatrix{16.7 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
-   & 1251.7 & -1251.7 & 0 & 0 \cr
-  & -1251.7 & 1251.7 & 0 & 0 \cr
-  & 0 & 0 & 33.4 & -33.4 \cr
-& 0 & 0 & -33.4 & 66.8}\,\mathrm{pF}
-\]
-que una vez reducida a un sistema de tres conductores queda
-\[
-\bsf{C}'=\bsf{T}{\cdot}\bsf{C}{\cdot}\bsf{T}^t =
-\pmatrix{1268.4 & -1251.7 & 0 \cr
-         -1251.7 & 1285.1 & -33.4 \cr
-& -33.4 & 66.8}\,\mathrm{pF}
-\]
-Las cargas de los conductores 1' y 2' son  las del apartado anterior,
-lo que nos da el sistema de ecuaciones
-\[
-Q_{1'}=C'_{1'1'}V'_{1'}+C'_{1'2'}V'_{2'}
-\]
-\[
-Q_{2'}=C'_{1'2'}V'_{1'}+C'_{2'2'}V'_{2'}
-\]
-o, numéricamente
-\[
-.84 = 1268.4\,V'_{1'} - 1251.7\,V'_{2'}
-\]
-\[
-= -1251.7\,V'_{1'}+1285.1\,V'_{2'}
-\]
-con la carga en nC y las capacidades en pF. Resolviendo este sistema queda
-\[
-V'_{1'}=98.3\,\mathrm{V}\qquad V'_{2'} = 95.8\,\mathrm{V}
-\]
-y, una vez que tenemos los potenciales podemos calcular las cargas individuales
-\[
-\pmatrix{Q_1 \cr Q_2 \cr Q_3 \cr Q_4 \cr Q_5}
-=\pmatrix{16.7 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
-   & 1251.7 & -1251.7 & 0 & 0 \cr
-  & -1251.7 & 1251.7 & 0 & 0 \cr
-  & 0 & 0 & 33.4 & -33.4 \cr
-& 0 & 0 & -33.4 & 66.8}\cdot
-\pmatrix{98.3 \cr 98.3 \cr 95.8 \cr 95.8 \cr 0} \,\mathrm{pC}=
-\pmatrix{1.64 \cr 3.20 \cr -3.20 \cr 3.20 \cr -3.20} \,\mathrm{nC}
-\]
-La nueva energía es
-\[
-U_\mathrm{f} = \frac{1}{2}\mathbf{Q}{\cdot}\mathbf{V}=
-\frac{1}{2}\mathbf{V}{\cdot}\bsf{C}{\cdot}\mathbf{V}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^5 Q'_{i}V'_{i} =
-.8\,\mathrm{nJ}
-\]
-Esto supone una reducción en la energía almacenada de
-\[
-U_\mathrm{f}-U_\mathrm{i}=-4.1\,\mathrm{nJ}
-\]
-Este incremento negativo significa que el agente externo que acerca las
-placas una a la otra no realiza trabajo, sino que extrae energía, ya
-que las placas de por sí tienden a acercarse.
-\begin{center}
-{\large \textbf{Posibles caminos intermedios de solución}}
-\end{center}
-Evidentemente, no hay obligación de restringirse al circuito equivalente o usar exclusivamente álgebra matricial para resolver el problema. En cualquier momento puede pasarse de un planteamiento al otro, siempre que ello conduzca al resultado correcto. Es importante, eso sí, tener claros los distintos conceptos y no confundir los coeficientes de capacidad, $C_{ik}$, con las capacidades y autocapacidades $\overline{C}_{ik}$.
+==Posibles caminos intermedios==
+Evidentemente, no hay obligación de restringirse al circuito equivalente o usar exclusivamente álgebra matricial para resolver el  problema. En cualquier momento puede pasarse de un planteamiento al otro, siempre que ello conduzca al resultado correcto. Es importante, eso sí, tener claros los distintos conceptos y no confundir los coeficientes de capacidad, <math>C_{ik}</math>, con las capacidades y autocapacidades <math>\overline{C}_{ik}</math>.
 Entre los posibles ataques mixtos, pueden encontrarse los siguientes:
-\setcounter{ncason}{0}
+'''1)''' Usar el circuito equivalente para obtener la matriz 5&times;5. En este caso, se considera el sistema como formado por tres partes
-\cason Usar el circuito equivalente para obtener la matriz $5\times 5$.
-En este caso, se considera el sistema como formado por tres partes
 independientes, cada una con su circuito:
-\begin{enumerate}
+# La esfera 1, equivalente a un condensador esférico de radio interior <math>R</math> y radio exterior infinito.
-\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
+# El condensador de placas planas 2 y 3.
-\item La esfera 1, equivalente a un condensador esférico de radio
+# La esfera 4 y la carcasa 5, que se modelan como dos condensadores, uno esférico entre ambos conductores y otro esférico entre la carcasa y el infinito.
-interior $R$ y radio exterior infinito.
-\item  El condensador de placas planas 2 y 3.
-\item  La esfera 4 y la carcasa 5, que se modelan como dos
-condensadores, uno esférico entre ambos conductores y otro esférico
-entre la carcasa y el infinito.
-\end{enumerate}
-Una vez que se han calculado estas capacidades y autocapacidades, y
+Una vez que se han calculado estas capacidades y autocapacidades, y sabiendo que el resto de las capacidades son nulas, pueden hallarse los coeficientes de capacidad a través de las fórmulas
-sabiendo que el resto de las capacidades son nulas, pueden hallarse los
-coeficientes de capacidad a través de las fórmulas
-\[
-C_{ik} = -\overline{C}_{ik}\quad (i\neq k)\qquad\qquad C_{ii}=\sum_k \overline{C}_{ik}
-\]
-Luego, para pasar a un sistema de tres conductores puede emplearse el
-álgebra matricial.
-\cason Otra posibilidad sencilla consiste en emplear el circuito
+<center><math>C_{ik} = -\overline{C}_{ik}\quad (i\neq k)\qquad\qquad C_{ii}=\sum_k \overline{C}_{ik}</math></center>
-equivalente para todo el apartado (a), pero recurrir a las matrices
-para el apartado (b) y (c). En este caso, el apartado (d) aconsejaría
-recurrir de nuevo al circuito equivalente.
-\cason Los cálculos para hallar cargas o potenciales pueden hacerse
+Luego, para pasar a un sistema de tres conductores puede emplearse el álgebra matricial.
-también empleando sistemas de ecuaciones en lugar de matrices. Por
-ejemplo, si no se conoce el uso de la matriz $\bsf{T}$ se puede reducir
-el sistema de cinco conductores a uno de tres observando que, como
-resultado de la conexión entre 1 y 2, y entre 3 y 4, tenemos las
-relaciones
-\[
-V_1 = V_2 = V_{1'}\qquad Q_{1'}=Q_1+Q_2
-\]
-\[
-V_3 = V_4 = V_{2'}\qquad Q_{2'}=Q_3+Q_4
-\]
-que conduce a los mismos resultados.
-\cason El apartado (d) aconseja en cualquier caso el uso del circuito
+'''2)''' Otra posibilidad sencilla consiste en emplear el circuito equivalente para todo el primer apartado, pero recurrir a las matrices para los apartados segundo y tercero.
-equivalente, ya que así se ahorra el uso de varias matrices y vectores
-bastante parecidas entre sí, lo que puede aumentar las probabilidades
-de errores y confusiones.
+'''3)''' Los cálculos para hallar cargas o potenciales pueden hacerse también empleando sistemas de ecuaciones en lugar de matrices. Por ejemplo, si no se conoce el uso de la matriz <math>\mathsf{T}</math> se puede reducir el sistema de cinco conductores a uno de tres observando que, como resultado de la conexión entre 1 y 2, y entre 3 y 4, tenemos las relaciones
+<center><math>V_1 = V_2 = V_{1'}\qquad Q_{1'}=Q_1+Q_2</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>V_3 = V_4 = V_{2'}\qquad Q_{2'}=Q_3+Q_4</math>
+que conduce a los mismos resultados.
 [[Categoría:Problemas de electrostática en presencia de conductores]]