Campo producido por una espira poligonal

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 11:27 4 abr 2011

Contenido

1 Enunciado
2 Cuadrilátero
- 2.1 Campo en P
- 2.2 Momento magnético
3 Espira alabeada
- 3.1 Campo en P
- 3.2 Momento magnético

1 Enunciado

Por las espira de formas irregulares de las figuras circula una corriente $I$ . Halle el valor del campo en el punto $P$ en cada caso.

Para cada una de las espiras, hállese su momento magnético y la expresión del campo magnético y del potencial vector en puntos alejados de la espira.

2 Cuadrilátero

2.1 Campo en P

El campo es la suma de las contribuciones de cada uno de los lados del cuadrilátero. El campo de un segmento puede calcularse por integración directa, resultando la expresión

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi\rho}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{n}$

donde $α 1$ y $α 2$ son los ángulos con que se ven los extremos del segmento desde P, $ρ$ es la distancia de P a la recta soporte del segmento y $\mathbf{n}$ la normal al plano definido por el segmento y P, orientado según la regla de la mano derecha.

El punto P se encuentra en la intersección de la prolongación de dos de los lados. Por estar fuera de estos segmentos, la contribución de esos dos lados es nula.

Quedan las contribuciones de los otros dos lados.

Para el lado situado a una distancia $a$ tenemos que

$\rho=a\,$ $\alpha_1=-\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\beta-\frac{\pi}{2}$ $\alpha_2=0\,$ $\mathbf{n}=-\mathbf{u}_z\,$

$\mathbf{n}$ es el vector perpendicular al plano de la espira, hacia adentro de la pantalla. La contribución de esta lado es

$\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(\,\mathrm{sen}\left(0\right)-\,\mathrm{sen}\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\right)(-\mathbf{u}_z)=-\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi a}\mathbf{u}_z$

Para el lado situado a una distancia $b$ tenemos que

$\rho=b\,$ $\alpha_1=-\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\beta-\frac{\pi}{2}$ $\alpha_2=0\,$ $\mathbf{n}=+\mathbf{u}_z\,$

La contribución de esta lado es

$\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0I}{4\pi b}\left(\,\mathrm{sen}\left(0\right)-\,\mathrm{sen}\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi b}\mathbf{u}_z$

y el campo en P

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)\mathbf{u}_z$

Puesto que $a < b$ , este campo va hacia adentro de la pantalla.

2.2 Momento magnético

El momento magnético de una espira plana es

$\mathbf{m}=IS\mathbf{n}$

Siendo $S$ el área de la porción de plano limitada por la curva y n la normal a éste (con el sentido asignado por la regla de la mano derecha.

El área de esta figura es la de un triángulo rectángulo menos la de otro triángulo rectángulo semejante

$S = \frac{1}{2}bh-\frac{1}{2}ah'$

con $h$ y $h'$ las longitudes de los lados 2 y 4. Por trigonomtría

$\frac{b}{h}=\frac{a}{h'}=\,\mathrm{tg}\,\beta$

y

$\mathbf{m}=\frac{I(b^2-a^2)\,\mathrm{cotg}\,\beta}{2}\mathbf{u}_z$

El campo en puntos alejados el potencial vector es el de un dipolo

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0m\,\mathrm{sen}\,\theta}{4\pi r^2}\mathbf{u}_\varphi$

El campo correspondiente es

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(2\cos\theta\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_\theta)$

3 Espira alabeada

3.1 Campo en P

En el segundo caso tenemos las contribuciones de seis tramos. El punto

P

se encuentra a la misma distancia

a

de los seis tramos.

Para las contribuciones de cada tramo, debemos distinguir entre dos casos.

Consideremos los dos tramos situados en el plano XY. Para el primero (en el sentido de la corriente) tenemos que

$\alpha_1=0\,$ $\alpha_2=\frac{\pi}{4}$ $\mathbf{n}=\mathbf{u}_z$

con lo que su contribución al campo magnético es

$\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-0\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\sqrt{2}}{8\pi a}\mathbf{u}_z$

Para el segundo tramo del mismo plano, se cumple

$\alpha_1=-\frac{\pi}{4}\,$ $\alpha_2=0\,$ $\mathbf{n}=\mathbf{u}_z$

y el campo debido a este segmento en $P$ es

$\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(0-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\sqrt{2}}{8\pi a}\mathbf{u}_z$

esto es, la misma que para el primer segmento.

Del mismo modo se opera para el resto de segmentos, donde lo único que cambia en cada caso es la dirección del vector normal, resultando el campo magnético total en $P$

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I\sqrt{2}}{4\pi a}(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y+\mathbf{u}_z)$

3.2 Momento magnético

El momento magnético de esta espira es

$\mathbf{m}=I\mathbf{S}\,$

con $\mathbf{S}$ el vector superficie que, para una curva alabeada es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones d ela curva sobre los tres planos coordenados. Para esta quebrada, las proyecciones son sendos cuadrados de lado $a$ . Por ello

$\mathbf{m}=I\mathbf{S}\,=Ia^2(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y+\mathbf{u}_z)$

Para el campo en puntos alejados sustituimos en la expresión general

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5} =\frac{\mu_0Ia^2}{4\pi r^5}(3(x+y+z)(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z)-(x^2+y^2+z^2)(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z))$

Agrupando por componentes

$\mathbf{B} =\frac{\mu_0Ia^2}{4\pi r^5}((2x^2+3xy+3xz-y^2-z^2)\mathbf{u}_x+(2y^2+3xy+3yz-x^2-z^2)\mathbf{u}_y+(2z^2+3xz+3yz-x^2-y^2)\mathbf{u}_z)$

@@ Línea 24: / Línea 24: @@
 <math>\mathbf{n}</math> es el vector perpendicular al plano de la espira, hacia adentro de la pantalla. La contribución de esta lado es
-<center><math>\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(\,\mathrm{sen}\,\left(\frac{\pi}{2}\right)-\,\mathrm{sen}\,\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\right)(-\mathbf{u}_z)=-\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi a}\mathbf{u}_z</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(\,\mathrm{sen}\left(0\right)-\,\mathrm{sen}\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\right)(-\mathbf{u}_z)=-\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi a}\mathbf{u}_z</math></center>
 Para el lado situado a una distancia <math>b</math> tenemos que
@@ Línea 32: / Línea 32: @@
 La contribución de esta lado es
-<center><math>\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0I}{4\pi b}\left(\,\mathrm{sen}\,\left(\frac{\pi}{2}\right)-\,\mathrm{sen}\,\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi b}\mathbf{u}_z</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0I}{4\pi b}\left(\,\mathrm{sen}\left(0\right)-\,\mathrm{sen}\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi b}\mathbf{u}_z</math></center>
 y el campo en P
@@ Línea 69: / Línea 69: @@
 ==Espira alabeada==
 ===Campo en P===
-[[Imagen:espiracubo.png|left]]En el segundo caso tenemos las contribuciones de seis tramos. El punto P se encuentra a la misma distancia <math>a</math> de los seis tramos. Asimismo, para los seis tramos se cumple que
+[[Imagen:espiracubo.png|left]]En el segundo caso tenemos las contribuciones de seis tramos. El punto <math>P</math> se encuentra a la misma distancia <math>a</math> de los seis tramos.
-<center><math>\alpha_1=-\frac{\pi}{4}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{sen}\,\alpha_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\alpha_2=0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{sen}\,\alpha_2=0</math></center>
+Para las contribuciones de cada tramo, debemos distinguir entre dos casos.
-Lo único que cambia de un tramo a otro es el correspondiente vector normal. Por ello, el campo magnético en P será
+Consideremos los dos tramos situados en el plano XY. Para el primero (en el sentido de la corriente) tenemos que
-<center><math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0I\sqrt{2}}{8\pi a}\sum_{i=1}^6 \mathbf{n}_i</math></center>
+<center><math>\alpha_1=0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\alpha_2=\frac{\pi}{4}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{n}=\mathbf{u}_z</math></center>
-Aplicando la regla de la mano derecha a cada segmento se ve que para los dos segmentos contenidos en cada plano coordenado, la normal es el vector de la base coordenada normal a dicho plano, esto es, si empezamos a contar por el segmento que empieza en <math>a\mathbf{u}_x</math>
+con lo que su contribución al campo magnético es
-<center><math>\mathbf{n}_1=\mathbf{n}_2=\mathbf{u}_z\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{n}_3=\mathbf{n}_4=\mathbf{u}_y\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{n}_5=\mathbf{n}_6=\mathbf{u}_y\,</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-0\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\sqrt{2}}{8\pi a}\mathbf{u}_z</math></center>
-y el campo magnético en P vale
+Para el segundo tramo del mismo plano, se cumple
+<center><math>\alpha_1=-\frac{\pi}{4}\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\alpha_2=0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{n}=\mathbf{u}_z</math></center>
+y el campo debido a este segmento en <math>P</math> es
+<center><math>\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(0-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\sqrt{2}}{8\pi a}\mathbf{u}_z</math></center>
+esto es, la misma que para el primer segmento.
+Del mismo modo se opera para el resto de segmentos, donde lo único que cambia en cada caso es la dirección del vector normal, resultando el campo magnético total en <math>P</math>
 <center><math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0I\sqrt{2}}{4\pi a}(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y+\mathbf{u}_z)</math></center>
@@ Línea 96: / Línea 106: @@
 Para el campo en puntos alejados sustituimos en la expresión general
-<center><math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5} =
+<center><math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}
 =\frac{\mu_0Ia^2}{4\pi r^5}(3(x+y+z)(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z)-(x^2+y^2+z^2)(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z))</math></center>

Campo producido por una espira poligonal

De Laplace

última version al 11:27 4 abr 2011

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1 Enunciado

2 Cuadrilátero

2.1 Campo en P

2.2 Momento magnético

3 Espira alabeada

3.1 Campo en P

3.2 Momento magnético

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