Test del primer parcial 2017-2018 (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 08:51 25 oct 2017

Contenido

1 Momentos de un vector
2 Velocidad dependiente de x
3 Triedro de Frenet
4 Rapidez con incertidumbre
5 Velocidad media de dos tramos
6 Distancia dentro de un cubo

1 Momentos de un vector

Un vector $\vec{v}$ está aplicado en el punto P. Se conocen sus momentos $\vec{M}_O$ respecto a un punto O y $\vec{M}_A$ respecto a un punto A. Si $\vec{M}_A=\vec{M}_O$ se cumple que…

A $\overrightarrow{OP}$ es paralelo a $\vec{v}$ .
B $\overrightarrow{AP}$ es paralelo a $\vec{v}$ .
C $\overrightarrow{OA}$ es paralelo a $\vec{v}$ .
D $\overrightarrow{OP}$ es paralelo a $\overrightarrow{AP}$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

La relación entre los momentos respecto a dos puntos diferentes es

$\vec{M}_A=\vec{M}_O+\vec{v}\times\overrightarrow{OA}$

Si son iguales

$\vec{M}_A=\vec{M}_O \qquad\Rightarrow\qquad\vec{v}\times\overrightarrow{OA}=\vec{0}$

y por tanto $\overrightarrow{OA}$ es paralelo a $\vec{v}$

2 Velocidad dependiente de x

Una partícula se mueve a lo largo de la recta OX cumpliéndose en todo momento

$v=A\sqrt{b^2-x^2}$

con A y b dos constantes positivas. La partícula se halla inicialmente en $x = 0$ .

2.1 Pregunta 1

¿En qué unidades se mide A en el sistema internacional?

A m/s.
B 1/s.
C m²/s.
D m³/s

Solución

La respuesta correcta es la B.

Por homogeneidad dimensional

$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=[A]\sqrt{\mathrm{m}^2}\qquad\Rightarrow\qquad [A]=\frac{1}{\mathrm{s}}$

2.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la aceleración de la partícula como función de x?

A $a=-A^2x\,$ .
B No hay información suficiente para determinarla.
C $a=0\,$
D $a=-Ax/\sqrt{b^2-x^2}$ .

Solución

La respuesta correcta es la A.

Se deriva respecto al tiempo aplicando la regla de la cadena

$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\overbrace{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}^{=v}=\frac{-Ax}{\sqrt{b^2-x^2}}A\sqrt{b^2-x^2}=-A^2x$

Equivalentemente se puede hallar como

$a=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{2}v^2\right)=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{A^2(b^2-x^2)}{2}\right)=-A^2x$

2.3 Pregunta 3

¿Cuál es la posición de la partícula como función del tiempo, para todo t?

A $x=0\,$ .
B No hay información suficiente para determinarla.
C $x=b\,\mathrm{sen}(At)$
D $x=A b t\,$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

De acuerdo con la pregunta anterior, la partícula cumple la ecuación del oscilador armonico

$a=-\omega^2 x\qquad\qquad\mbox{con}\qquad\omega = A\,$

y la solución es de la forma

$x = x_0\cos(A t)+\frac{v_{x0}}{A}\mathrm{sen}(A t)$

En este caso

$x_0=0\qquad\qquad v_0=A\sqrt{b^2-0^2}=Ab$

y queda

$x=b\,\mathrm{sen}(At)$

También puede hacerse sustituyendo las diferentes opciones en la ecuación para la velocidad, o integrando

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=A\sqrt{b^2-x^2}\qquad\Rightarrow\qquad \int_0^x\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{b^2-x^2}}=A\int_0^t\mathrm{d}t$

3 Triedro de Frenet

¿Cuál de las siguientes figuras representa correctamente la orientación de los vectores del triedro de Frenet (⊙: hacia afuera del papel; ⊗ hacia adentro del papel)?


A	B

C	D

Solución

La respuesta correcta es la D.

El vector normal $\vec{N}$ está contenido en el plano del movimiento y dirigido hacia el interior de la curva, lo cual nos deja con las opciones B y D.

El vector binormal cumple la regla de la mano derecha respecto a $\vec{T}$ y $\vec{N}$

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}$

por lo que el binormal debe ir hacia adentro y la respuesta es la D.

4 Rapidez con incertidumbre

Se miden las componentes de una velocidad, con sus respectivas incertidumbres y resulta la cantidad $\vec{v}=(3.0(1)\vec{\imath}-4.0(1)\vec{\jmath}-8.0(1)\vec{k}) \mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ¿Cuánto vale la rapidez del movimiento?

A 9.43(16)m/s
B 89(3)m/s.
C 89.0(1)m/s.
D 9.43398(1)m/s.

Solución

La respuesta correcta es la A.

Podemos estimar la medida y su incertidumbre tomando los valores mínimo y máximo para cada componente. Así queda

$|\vec{v}|_\mathrm{min}=\sqrt{2.9^2+3.9^2+7.9^2}=9.27524\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

y

$|\vec{v}|_\mathrm{max}=\sqrt{3.1^2+4.1^2+8.1^2}=9.59323\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

La medida sería la media de estas dos

$|\vec{v}|=\frac{|\vec{v}|_\mathrm{min}+|\vec{v}|_\mathrm{max}}{2}=9.43423\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

y su incertidumbre la mitad de la diferencia

$E_v=\frac{|\vec{v}|_\mathrm{max}-|\vec{v}|_\mathrm{min}}{2}=0.158995\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Redondeando queda

$|\vec{v}|=9.43(16)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

También se puede llegar por eliminación, ya que no puede ser ni la B ni la C, y la D tiene un número excesivo de cifras significativas.

5 Velocidad media de dos tramos

Una partícula en movimiento rectilíneo recorre la primera mitad de la distancia con velocidad $v 1$ y la segunda mitad con $v 2$ , siempre en el mismo sentido. La velocidad media del trayecto es…

A $v_m=(v_1+v_2)/2\,$ .
B $v_m=2v_1v_2/(v_1+v_2)\,$ .
C $v_m=\sqrt{(v_1^2+v_2^2)/2}$ .
D $v_m=\sqrt{v_1v_2}$ .

Solución

La respuesta correcta es la B.

Los desplazamientos en cada mitad valen

$\Delta x_1=\Delta x_2=\frac{\Delta x}{2}$

Los intervalos empleados en recorrer cada mitad son

$\Delta t_1=\frac{\Delta x_1}{v_1}=\frac{\Delta x}{2v_1}\qquad\qquad \Delta t_2=\frac{\Delta x_2}{v_2}=\frac{\Delta x}{2v_2}$

y el total

$\Delta t = \Delta t_1+\Delta t_2=\frac{\Delta x}{2v_1}+\frac{\Delta x}{2v_2}=\frac{\Delta x(v_1+v_2)}{2v_1v_2}$

lo que da la velocidad media

$v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

6 Distancia dentro de un cubo

Sea un cubo de arista $b$ siendo O uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de O al plano definido por sus tres vértices contiguos?

A $b\sqrt{2}/2$ .
B $b\sqrt{3}/2$ .
C $b\sqrt{3}/3$ .
D $b / 3$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

La distancia de un punto O a un plano que pasa por A se calcula como

$d=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\vec{B}}{|\vec{B}|}$

siendo $\vec{B}$ un vector perpendicular al plano. En este caso, $\vec{B}$ va en la dirección de la diagonal del cubo

$\vec{B}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\qquad\qquad |\vec{B}|=\sqrt{3}$

y $\overrightarrow{OA}$ es el vector de O a un punto del plano, por ejemplo,

$\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}$

lo que da

$d = \frac{(b\vec{\imath})\cdot(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})}{\sqrt{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{b\sqrt{3}}{3}$

@@ Línea 7: / Línea 7: @@
 ;Solución:
 La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
+La relación entre los momentos respecto a dos puntos diferentes es
+<center><math>\vec{M}_A=\vec{M}_O+\vec{v}\times\overrightarrow{OA}</math></center>
+Si son iguales
+<center><math>\vec{M}_A=\vec{M}_O \qquad\Rightarrow\qquad\vec{v}\times\overrightarrow{OA}=\vec{0}</math></center>
+y por tanto <math>\overrightarrow{OA}</math> es paralelo a <math>\vec{v}</math>
 ==Velocidad dependiente de x==
@@ Línea 24: / Línea 34: @@
 La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
+Por homogeneidad dimensional
+<center><math>\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=[A]\sqrt{\mathrm{m}^2}\qquad\Rightarrow\qquad [A]=\frac{1}{\mathrm{s}}</math></center>
 ===Pregunta 2===
 ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula como función de x?
@@ Línea 32: / Línea 45: @@
 ;Solución:
 La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
+Se deriva respecto al tiempo aplicando la regla de la cadena
+<center><math>a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\overbrace{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}^{=v}=\frac{-Ax}{\sqrt{b^2-x^2}}A\sqrt{b^2-x^2}=-A^2x</math></center>
+Equivalentemente se puede hallar como
+<center><math>a=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{2}v^2\right)=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{A^2(b^2-x^2)}{2}\right)=-A^2x</math></center>
 ===Pregunta 3===
@@ Línea 42: / Línea 63: @@
 La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
+De acuerdo con la pregunta anterior, la partícula cumple la ecuación del oscilador armonico
+<center><math>a=-\omega^2 x\qquad\qquad\mbox{con}\qquad\omega = A\,</math></center>
+y la solución es de la forma
+<center><math>x = x_0\cos(A t)+\frac{v_{x0}}{A}\mathrm{sen}(A t)</math></center>
+En este caso
+<center><math>x_0=0\qquad\qquad v_0=A\sqrt{b^2-0^2}=Ab</math></center>
+y queda
+<center><math>x=b\,\mathrm{sen}(At)</math></center>
+También puede hacerse sustituyendo las diferentes opciones en la ecuación para la velocidad, o integrando
+<center><math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=A\sqrt{b^2-x^2}\qquad\Rightarrow\qquad \int_0^x\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{b^2-x^2}}=A\int_0^t\mathrm{d}t</math></center>
 ==Triedro de Frenet==
 ¿Cuál de las siguientes figuras representa correctamente la orientación de los vectores del triedro de Frenet (&#x2299;: hacia afuera del papel; &otimes; hacia adentro del papel)?
@@ Línea 62: / Línea 102: @@
 ;Solución:
 La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">D<span>'''.
+El vector normal <math>\vec{N}</math> está contenido en el plano del movimiento y dirigido hacia el interior de la curva, lo cual nos deja con las opciones B y D.
+El vector binormal cumple la regla de la mano derecha respecto a <math>\vec{T}</math> y <math>\vec{N}</math>
+<center><math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}</math></center>
+por lo que el binormal debe ir hacia adentro y la respuesta es la D.
 ==Rapidez con incertidumbre==
@@ Línea 71: / Línea 119: @@
 ;Solución:
 La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
+Podemos estimar la medida y su incertidumbre tomando los valores mínimo y máximo para cada componente. Así queda
+<center><math>|\vec{v}|_\mathrm{min}=\sqrt{2.9^2+3.9^2+7.9^2}=9.27524\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
+y
+<center><math>|\vec{v}|_\mathrm{max}=\sqrt{3.1^2+4.1^2+8.1^2}=9.59323\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
+La medida sería la media de estas dos
+<center><math>|\vec{v}|=\frac{|\vec{v}|_\mathrm{min}+|\vec{v}|_\mathrm{max}}{2}=9.43423\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
+y su incertidumbre la mitad de la diferencia
+<center><math>E_v=\frac{|\vec{v}|_\mathrm{max}-|\vec{v}|_\mathrm{min}}{2}=0.158995\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
+Redondeando queda
+<center><math>|\vec{v}|=9.43(16)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
+También se puede llegar por eliminación, ya que no puede ser ni la B ni la C, y la D tiene un número excesivo de cifras significativas.
 ==Velocidad media de dos tramos==
@@ Línea 80: / Línea 151: @@
 ;Solución:
 La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
+Los desplazamientos en cada mitad valen
+<center><math>\Delta x_1=\Delta x_2=\frac{\Delta x}{2}</math></center>
+Los intervalos empleados en recorrer cada mitad son
+<center><math>\Delta t_1=\frac{\Delta x_1}{v_1}=\frac{\Delta x}{2v_1}\qquad\qquad \Delta t_2=\frac{\Delta x_2}{v_2}=\frac{\Delta x}{2v_2}</math></center>
+y el total
+<center><math>\Delta t = \Delta t_1+\Delta t_2=\frac{\Delta x}{2v_1}+\frac{\Delta x}{2v_2}=\frac{\Delta x(v_1+v_2)}{2v_1v_2}</math></center>
+lo que da la velocidad media
+<center><math>v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}</math></center>
 ==Distancia dentro de un cubo==

Test del primer parcial 2017-2018 (GIE)

De Laplace

última version al 08:51 25 oct 2017

Contenido

1 Momentos de un vector

2 Velocidad dependiente de x

2.1 Pregunta 1

2.2 Pregunta 2

2.3 Pregunta 3

3 Triedro de Frenet

4 Rapidez con incertidumbre

5 Velocidad media de dos tramos

6 Distancia dentro de un cubo

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